洛谷P6091 【模板】原根
题目大意
给定整数 \(n\)，求它的所有原根。为了减小你的输出量，给出输出参数 \(d\)，设 \(n\) 的所有原根有 \(c\) 个，从小到大分别为 \(g_1,g_2,\cdots,g_c\)，你只需要依次输出 \(g_d,g_{2d},\cdots,g_{\lfloor\frac{c}{d}\rfloor\times d}\)。\((n\leq 10^6)\)
阶
对于一个正整数 \(a\)，若\(\gcd(a,m)=1\)，则满足 \(a^x\equiv1\pmod m\) 的最小的正整数 \(x\) 称为 \(a\) 在模 \(m\) 意义下的阶，记作 \(\mathrm{ord}_m(a)\)。
\(a^n\equiv 1\pmod m\) 的充要条件是 \(\mathrm{ord}_m(a)|n\)。由欧拉定理，当 \(gcd(a,m)=1\) 时，\(a^{\varphi(m)}\equiv 1\pmod m\)，所以 \(\mathrm{ord}_m(a)|\varphi(m)\)。
原根
若 \(\mathrm{ord}_p(g)=\varphi(p)\)，则称 \(g\) 是模 \(p\) 意义下的原根。
只有形如 \(1,2,4,p^x,2p^x\) 的数存在原根，其中 \(p\) 是奇质数，\(x\) 是正整数。
如果 \(p\) 存在原根，则模 \(p\) 意义下的原根数量为 \(\varphi(\varphi(p))\)。
如果 \(g\) 是模 \(p\) 意义下的原根，若 \(\gcd(x,\varphi(p))=1\)，则 \(g^x\) 也是模 \(p\) 意义下的原根。
若 \(g\) 是模 \(m\) 意义下的原根，则对于所有的 \(\varphi(m)\) 的质因子 \(p\)，都有 \(g^{\frac{\varphi(m)}{p}}\not\equiv 1\pmod m\)
在 \(10^9\) 范围内，最小的原根大小大约不超过 \(n^{0.25}\)。
首先线性筛出质数和欧拉函数，把所有存在原根的数存入一个vector并排序。对于 \(p\)，二分查找它是否在vector中出现。若 \(p\) 存在原根，我们从小到大开始枚举 \(g\)。设 \(\varphi(p)=\prod p_i^{k_i}\)，\(p_i\) 是质数，若对于所有的 \(p_i\)，\(g^{\frac{\varphi(p)}{p_i}}\not\equiv 1\pmod p\)，则 \(g\) 是最小的原根，直接返回。再枚举所有小于等于 \(p\) 且 \(\gcd(x,\varphi(p))=1\) 的正整数 \(x\)， \(g^x\)均为原根。
Code
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define RG register int
#define LL long long
template<typename elemType>
inline void Read(elemType& T) {
elemType X = 0, w = 0; char ch = 0;
while (!isdigit(ch)) { w |= ch == '-'; ch = getchar(); }
while (isdigit(ch)) X = (X << 3) + (X << 1) + (ch ^ 48), ch = getchar();
T = (w ? -X : X);
}
const int maxn = 1000005;
vector<int> Prime, pk, ans;
int phi[maxn], factor[105];
bool not_Prime[maxn];
int factor_cnt;
LL GCD(LL a, LL b) { return b == 0 ? a : GCD(b, a % b); }
inline void Get_Phi(int Len) {
not_Prime[1] = true;
phi[1] = 1;
int Count = 0;
for (int i = 2; i <= Len; i++) {
if (!not_Prime[i]) {
Prime.push_back(i);
++Count; phi[i] = i - 1;
}
for (int j = 0; j < Count; j++) {
int mid = i * Prime[j];
if (mid > Len) break;
not_Prime[mid] = true;
if (i % Prime[j] == 0) {
phi[mid] = phi[i] * Prime[j];
break;
}
phi[mid] = phi[i] * (Prime[j] - 1);
}
}
return;
}
LL ExPow(LL b, LL n, LL MOD) {
if (MOD == 1) return 0;
LL x = 1;
LL Power = b % MOD;
while (n) {
if (n & 1) x = x * Power % MOD;
Power = Power * Power % MOD;
n >>= 1;
}
return x;
}
bool judge_rt(LL g, LL p) {
for (int i = 1; i <= factor_cnt; ++i)
if (ExPow(g, phi[p] / factor[i], p) == 1) return false;
return true;
}
int get_rt(int p) {
if (p == 1 || p == 2) return 1;
if (p == 4) return 3;
if (p % 4 == 0) return -1;
if (p % 2 == 0 && !binary_search(pk.begin(), pk.end(), p >> 1)) return -1;
if (p % 2 != 0 && !binary_search(pk.begin(), pk.end(), p)) return -1;
for (int g = 1;; ++g) {
if (GCD(g, p) != 1) continue;
int cnt = 0, x = phi[p];
factor_cnt = 0;
for (int i = 0; (LL)Prime[i] * (LL)Prime[i] <= x; ++i) {
if (x % Prime[i] == 0) {
factor[++factor_cnt] = Prime[i];
while (x % Prime[i] == 0) x /= Prime[i];
}
}
if (x != 1) factor[++factor_cnt] = x;
if (judge_rt(g, p)) return g;
}
return -1;
}
void init(int len) {
Get_Phi(len);
for (int i = 1; i < Prime.size(); ++i) {
LL temp = Prime[i];
while (temp <= len) { pk.push_back(temp); temp *= Prime[i]; }
}
sort(pk.begin(), pk.end());
}
int T, p, d;
int main() {
init(1000000);
Read(T);
while (T--) {
Read(p); Read(d);
int g = get_rt(p);
if (g == -1) { printf("0\n\n"); continue; }
printf("%d\n", phi[phi[p]]);
ans.clear();
LL prod = 1;
for (int i = 1; i <= phi[p]; ++i) {
prod = prod * g % p;
if (GCD(i, phi[p]) == 1) ans.push_back(prod);
}
sort(ans.begin(), ans.end());
for (int i = 1; i * d <= ans.size(); ++i)
printf("%d ", ans[i * d - 1]);
printf("\n");
}
return 0;
}
