HDU 1028
整数划分问题是将一个正整数n拆成一组数连加并等于n的形式,且这组数中的最大加数不大于n。
如6的整数划分为
6
5 + 1
4 + 2, 4 + 1 + 1
3 + 3, 3 + 2 + 1, 3 + 1 + 1 + 1
2 + 2 + 2, 2 + 2 + 1 + 1, 2 + 1 + 1 + 1 + 1
1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1
共11种。下面介绍一种通过递归方法得到一个正整数的划分数。
递归函数的声明为 int split(int n, int m);其中n为要划分的正整数,m是划分中的最大加数(当m > n时,最大加数为n),
1 当n = 1或m = 1时,split的值为1,可根据上例看出,只有一个划分1 或 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1
可用程序表示为if(n == 1 || m == 1) return 1;
2 下面看一看m 和 n的关系。它们有三种关系
(1) m > n
在整数划分中实际上最大加数不能大于n,因此在这种情况可以等价为split(n, n);
可用程序表示为if(m > n) return split(n, n);
(2) m = n
这种情况可用递归表示为split(n, m - 1) + 1,从以上例子中可以看出,就是最大加
数为6和小于6的划分之和
用程序表示为if(m == n) return (split(n, m - 1) + 1);
(3) m < n
这是最一般的情况,在划分的大多数时都是这种情况。
从上例可以看出,设m = 4,那split(6, 4)的值是最大加数小于4划分数和整数2的划分数的和。
因此,split(n, m)可表示为split(n, m - 1) + split(n - m, m)
但这里 n 的值比较大,直接递归会TLE,我们只需把过程值记住就可以解决TLE问题
![](https://images.cnblogs.com/OutliningIndicators/ContractedBlock.gif)
1 #include <stdio.h> 2 #include <string.h> 3 #include <stdlib.h> 4 #include <math.h> 5 #include <time.h> 6 #include <ctype.h> 7 #include <string> 8 #include <queue> 9 #include <set> 10 #include <map> 11 #include <stack> 12 #include <vector> 13 #include <algorithm> 14 #include <iostream> 15 #define PI acos( -1.0 ) 16 using namespace std; 17 typedef long long ll; 18 19 const int NO = 125; 20 int a[NO][NO]; 21 int n; 22 23 int sum( int x, int y ) 24 { 25 if( a[x][y] != -1 ) return a[x][y]; 26 if( x <= 0 || y <= 0 ) return a[x][y] = 0; 27 if( y > x ) return a[x][y] = sum( x, x ); 28 if( x == 1 || y == 1 ) return a[x][y] = 1; 29 if( x == y ) return a[x][y] = sum( x, y-1 ) + 1; 30 return a[x][y] = sum( x, y-1 ) + sum( x-y, y ); 31 } 32 33 int main() 34 { 35 memset( a, -1, sizeof( a ) ); 36 while( ~scanf( "%d", &n ) ) 37 { 38 int ans = sum( n, n ); 39 printf( "%d\n", ans ); 40 } 41 return 0; 42 }
当然这题我们也可以用母函数求解
![](https://images.cnblogs.com/OutliningIndicators/ContractedBlock.gif)
1 #include <stdio.h> 2 #include <string.h> 3 #include <stdlib.h> 4 #include <math.h> 5 #include <time.h> 6 #include <ctype.h> 7 #include <string> 8 #include <queue> 9 #include <set> 10 #include <map> 11 #include <stack> 12 #include <vector> 13 #include <algorithm> 14 #include <iostream> 15 #define PI acos( -1.0 ) 16 using namespace std; 17 typedef long long ll; 18 19 const int NO = 120; 20 int a[NO+5], b[NO+5]; 21 int n; 22 23 void init() 24 { 25 for( int i = 0; i <= NO; ++i ) 26 { 27 a[i] = 1; 28 b[i] = 0; 29 } 30 for( int i = 2; i <= NO; ++i ) 31 { 32 for( int j = 0; j <= NO; ++j ) 33 for( int t = 0; j+t <= NO; t+=i ) 34 b[j+t] += a[j]; 35 for( int j = 0; j <= NO; ++j ) 36 { 37 a[j] = b[j]; 38 b[j] = 0; 39 } 40 } 41 } 42 43 int main() 44 { 45 init(); 46 while( ~scanf( "%d", &n ) ) 47 { 48 printf( "%d\n", a[n] ); 49 } 50 return 0; 51 }