等比数列求和

我们现在令：

\[A = 1+2+4+8+16+32+64+128+256+512+1024\\ 则2A = 2+4+8+16+32+64+128+256+512+1024+2048 \]

这样我们构造出了一个新数列，
而且这个数列的和等于原数列乘以公比。
再将两个式子相减：

\[\begin{array}{r} \begin{aligned} 2A &= 2+4+8+16+32+64+128+256+512+1024+2048\\ -A &= 1+2+4+8+16+32+64+128+256+512+1024\\ \hline A&=2048-1=2047 \end{aligned} \end{array} \]

再来看看下面这道题:

【例2】计算 \(3+9+27+81+243+729+2187\)

分析：这题是等比数列求和，公比是3，共有7项。采用错位相减法，让等式乘以它的公比。

令 \(A=3+9+27+81+243+729+2187\)；

则 \(3A=9+27+81+243+729+2187+6561\)；

两式相减，

\(3A-A=2A=6561-3\)

\(2A=6558\)

\(A=6558\div2=3279\)

所以，

\(3+9+27+81+243+729+2187=3279\)

总结一下，等比数列的一般规律。

等比数列中，

公比\(=\)后一项\(\div\)前一项；

末项的值\(=\)首项 \(x\) 公比的 \((n-1)\) 次方（ \(n\) 代表项数）。

注意：公比的 \((n-1)\) 次方 \(=(n-1)\) 个公比相乘

如【例2】中，末项是 \(2187\)，首项是 \(3\)，项数 \(n=7\)。

\(2187=3\times 3^{7-1}\)

\(等比数列的和=(末项\times 公比-首项)\div (公比-1)\)
参考：bilibili 数学G老师