关于二叉树

二叉树

满二叉树

一颗深度为 \(k\) 且有 \(2^k-1\) 个节点的二叉树，每一层上的检点树都是最大值。

每层节点数量

第一层：\(2^{1-1}\) 个点，即 \(2^0 = 1\) 个点。
第二层：\(2^{2-1}\) 个点，即 \(2^1 = 2\) 个点。
第三层：\(2^{3-1}\) 个点，即 \(2^2 = 4\) 个点。
第 \(i\) 层：\(2^{i-1}\) 个点。

一共点的数量

深度为 \(h\) 有 \(2^k-1\) 个节点。

证明

基础情况：当 \(h = 1\) 时，满二叉树只有一个节点（根节点），即 \(n = 2^1 - 1 = 1\) 。这是正确的，因为只有一个节点。

归纳假设：假设对于所有高度小于 \(h\) 的满二叉树，节点数公式都是正确的，即对于任意 \(k < h\)，有 \(n = 2^k - 1\)。

归纳步骤：现在我们需要证明当 \(h = k + 1\) 时，公式也成立。对于高度为 \(h = k + 1\) 的满二叉树，我们可以将其看作是两个高度为 \(k\) 的满二叉树的根节点连接而成。每个高度为 \(k\) 的满二叉树有 \(2^k - 1\) 个节点。

因此，高度为 \(h = k + 1\) 的满二叉树的总节点数 \(n\) 可以表示为：

$ n = (2^k - 1) + (2^k - 1) + 1 $

因为根节点有两个子树，每个子树有 \(2^k - 1\) 个节点，再加上根节点本身，所以总节点数是 \(2 \times (2^k - 1) + 1\)。

简化这个表达式：

\[n = 2 \times 2^k - 2 + 1\\ n = 2^{k+1} - 1 \]

这正是我们需要的公式。因此，通过数学归纳法，我们证明了对于任意高度 \(h\) 的满二叉树，其节点数 \(n\) 都满足 $ n = 2^h - 1$。

完全二叉树

完全二叉树 : 深度为 \(k\) 的，有 \(n\) 个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为 \(k\) 的满二叉树中编号从 \(1\) 至 \(n\) 的结点一一对应 (特点: 至多只有最下面两层的结点的度可以小于 \(2\), 且倒二层如果只有一个孩子，那必是左孩子。)