平面分割和空间分割的相关公式

n条直线分割平面问题的公式推导：
设n条直线将平面分成Kn个部分，
当n=1时，K1=2；当n=2时，K2=4；当n=3时，K3=7；
当n=4时，K4=11；……K(n)= K(n-1) n, K(n)=1+n*(n+1)/2.
那n=1，2，3，4，5，6，7，8，9，
2,4,7,11,...
2 2,4 3,7 4,11 5 ...
1 1 2 3 4 5 6 7 ...
n=2 2 3 4 5 6 7 8 ... n=1 1 2 3 ... n=1 (n 1)*n/2(部分)
所以Kn=1+(n+1)*n/2(部分)

n条直线分割平面数：1+(n+1)*n/2

HDOJ 2050
n条折线分割平面数：2*n*n-n+1
n条折线可以看做是2n条直线分割平面，然后减去多余的区域
2n条直线分割平面的区域数就是n(2n+1)+1=2n^2+n+1
多余的区域是2n个，于是有效区域数就是2n^2-n+1个


n条闭合曲线分割平面
        1 n=1;
f(n)=
        f(n-1)+2(n-1) 其他n;
n条闭合曲线分割平面数：fn(n)=n^2-n+2;

平面最大化分割空间
递归关系f(n)=f(n-1)+n(n-1)/2+1
f(n)=(n^3+5n)/6+1
设n-1个平面已经最大化分割了某固定空间
则第n个平面要最大分割空间的话就要与所有平面都有交线
从第n个平面看，和n-1个平面相交的话，等同于第n个平面被n-1条直线最大化分割，数量为s
从空间上看，就是把空间多划分出来了s个子空间
于是递归关系就是f(n)=f(n-1)+s
而平面被n条直线最大化分割的公式就是s=n(n+1)/2+1
那么
f(n)
=n(n-1)/2+f(n-1)+1
=n(n-1)/2+(n-1)(n-2)/2+f(n-2)+2
=[n(n-1)+(n-1)(n-2)+(n-2)(n-3)+...+3*2+2*1]/2+f(1)+(n-1)
=[1*2+2*3+3*4+...+(n-3)(n-2)+(n-2)(n-1)+(n-1)n]/2+f(1)
={[1+2+3+4+...+(n-3)+(n-2)+(n-1)]+[1+2*2+3*3+4*4+...+(n-2)(n-2)+(n-1)(n-1)]}/2+(n-1)+f(1)
=[n(n-1)/2+(n-1)n(2n-1)/6]/2+(n-1)+f(1)
=[n(n-1)3/6+n(n-1)(2n-1)/6]/2+(n-1)+f(1)
=n(n-1)(n+1)/6+(n-1)+f(1)
=n(n^2-1)/6+n+1
=(n^3+5n)/6+1