Codeforces Round #580 (Div. 2)
Solutions
A. Choose Two Numbers
题意：
给出\(A,B\)两个集合，\(A,B\) 集合分别选一个数\(a,b\) ，使得\(a+b\notin\ A,B\)
思路：
每个集合选出最大值，必定满足条件。emmmmm比赛的时候傻了。
//#define DEBUG
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define lson (rt<<1)
#define rson (rt<<1|1)
const int N=100010;
const int inf=0X3f3f3f3f;
const long long INF = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
const double eps = 1e-6;
const double pi = acos(-1.0);
const int mod = 1000000007;
typedef long long ll;
int a[110];
int main() {
#ifdef DEBUG
freopen("in.txt","r",stdin);
#endif
int n,m,ans1,ans2;
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
ans1=*max_element(a+1,a+n+1);
scanf("%d",&m);
for(int i=1;i<=m;i++) scanf("%d",&a[i]);
ans2=*max_element(a+1,a+m+1);
printf("%d %d\n",ans1,ans2);
}
B. Make Product Equal One
题意：
给出\(a_1,a_2,\dots,a_n\)，可以进行任意次操作：选择其中任意一个数\(+1,-1\)，使得最后\(a_1{\ast}a_2{\ast}\dots{\ast}a_n=1\)。
思路：
负数就变为\(-1\)，整数就变为\(1\)，但是若负数个数为奇数，则需要有一个变为\(1\)，但是存在\(0\)的话，则不需要。
//#define DEBUG
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define lson (rt<<1)
#define rson (rt<<1|1)
const int N=100010;
const int inf=0X3f3f3f3f;
const long long INF = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
const double eps = 1e-6;
const double pi = acos(-1.0);
const int mod = 1000000007;
typedef long long ll;
int main() {
#ifdef DEBUG
freopen("in.txt","r",stdin);
#endif
int n;
scanf("%d",&n);
ll ans=0,ok=0,res=1;
for(int i=1;i<=n;i++) {
int x;
scanf("%d",&x);
if(x>=1) ans+=x-1;
else if(x<0) ans+=-1-x,res*=-1;
else if(!x) ans+=1,ok=1;
}
if(ok||res==1) printf("%lld\n",ans);
else printf("%lld\n",ans+2);
}
C. Almost Equal
题意：
给出数字\(n\)，你需要安排的数为\(1\sim2n\)，组成一个环。每连续\(n\)个数求一次和\(sum_i\),输出一个合法的序列，使得\({\forall}i,j,\ {\mid}sum_i-sum_j{\mid}{\leq}1\)
思路：
比赛时我构造出序列，然后队友写出\(check\) 代码，构造时发现分为两部分，右边最上面写一个最大的，左边最下面写次大的，然后左边再写次次大的，右边再写次次次大的，交替进行。可以理解为右边为先手，然后左边变为先手。构造完以后，用数组模拟成环，然后前缀和搞一搞模拟\(check\) 即可。
正解：
我们定义\(s_i=a_i+a_{i+1}+a_{i+2}+{\dots}+a_{i+n-1}\)，
\(S_{i+1}-S_{i}=\left(a_{i+1}+a_{i+2}+a_{i+3}+\cdots+a_{i+n}\right)-\left(a_{i}+a_{i+1}+a_{i+2}+\cdots+a_{i+n-1}\right)=a_{i+n}-a_{i}\) 根据题意有\({\mid}a_{i+n}-a_i{\mid}{\leq}1\)，因为\(a\)数组都是不同的，所以\({\mid}a_{i+n}-a_i{\mid}=1\)
则根据题意有：\(a_{i+n}-a_i,a_{i+n+1}-a_{i+1}\) 有相反的符号。 证：若他们都等于\(1\)，则\(S_{i+2}-S_i=(S_{i+2}-S_{i+1})+(S_{i+1}-S_{i})=(a_{i+n+1}-a_{i+1})+(a_{i+n}-a_i)=2\)，若都为\(-1\)也一样。因此，对于\(a_{i+n}-a_i\)，他们是交替的\(1,-1,1,\dots\)。
- 如果\(n\)为偶数，存在矛盾\(a_{i+n}-a_i=-(a_{(i+n)+n}-a_{i+n})\)，但是由于交替，所以他们应该是相等的
- 如果\(n\)为奇数，\(i:1{\sim}n\)
- 若\(i\)为奇数，\(a_i=2i,a_{i+n}=2i-1\)
- 若\(i\)为偶数，\(a_i=2i-1,a_{i+n}=2i\)
//#define DEBUG
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define lson (rt<<1)
#define rson (rt<<1|1)
const int N=100010;
const int inf=0X3f3f3f3f;
const long long INF = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
const double eps = 1e-6;
const double pi = acos(-1.0);
const int mod = 1000000007;
typedef long long ll;
int a[N],b[N],c[4*N];
ll ans[4*N];
int main() {
#ifdef DEBUG
freopen("in.txt","r",stdin);
#endif
int n;
scanf("%d",&n);
bool flag=true;
int cura=0,curb=0;
int x=2*n;
while(x) {
if(flag) {
b[++curb]=x--;
a[++cura]=x--;
} else {
a[++cura]=x--;
b[++curb]=x--;
}
flag=!flag;
}
int cur=0;
for(int i=cura;i>=1;i--) c[++cur]=a[i];
for(int i=curb;i>=1;i--) c[++cur]=b[i];
int len=cur;
for(int i=1;i<=len;i++) c[++cur]=c[i];
//for(int i=1;i<=cur;i++) printf("%d\n",c[i]);
set<ll> s;
for(int i=1;i<=n;i++)ans[i]=ans[i-1]+c[i];
s.insert(ans[n]);
for(int i=n+1;i<=3*n;i++){
ans[i]=ans[i-1]-c[i-n]+c[i];
s.insert(ans[i]);
}
if(s.size()>2)puts("NO");
else if(s.size()==2){
set<ll>::iterator it=s.begin();
ll s1,s2;
s1=*it;
it++;
s2=*it;
if(abs(s1-s2)!=1)puts("NO");
else {
puts("YES");
for(int i=1;i<=2*n;i++)printf("%d%c",c[i],i==2*n?'\n':' ');
}
}
else {
puts("YES");
for(int i=1;i<=2*n;i++)printf("%d%c",c[i],i==2*n?'\n':' ');
}
}
//#define DEBUG
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define lson (rt<<1)
#define rson (rt<<1|1)
const int N=100010;
const int inf=0X3f3f3f3f;
const long long INF = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
const double eps = 1e-6;
const double pi = acos(-1.0);
const int mod = 1000000007;
typedef long long ll;
int a[2*N];
int main() {
#ifdef DEBUG
freopen("in.txt","r",stdin);
#endif
int n;
scanf("%d",&n);
if(n%2==0) {puts("NO");return 0;}
puts("YES");
for(int i=1;i<=n;i++) {
if(i&1) a[i]=2*i,a[i+n]=2*i-1;
else a[i]=2*i-1,a[i+n]=2*i;
}
for(int i=1;i<=2*n;i++) printf("%d%c",a[i],i==2*n?'\n':' ');
}
D. Shortest Cycle
题意：
给出\(a_1,a_2,{\dots},a_n\)，当作图中的\(n\)个点，对于\({\forall}i,j(i{\neq}j),a_i\&a_j{\neq}0\)，\(a_i\)和\(a_j\)连一条边，然后求最小环。
思路：
比赛时队友考虑二进制，都把\(60\)个位置画出来了。我也准备好\(floyd\)最小环了。但是沙雕了，感觉每个位置都连边，复杂度太大emmmmmm。其实二进制对应位置\(1\)的个数大于\(2\)，那么最小环就是\(3\)，然后最多\(120\)个点\(60\)条边（可能不确切），然后\(floyd\)跑最小环即可。
\(floyd\)求最小环：\(d[i][j]\)为\(i\)到\(j\)不包含\(k\)点的最短距离。所以对于当前\(k\)，我们已经求得\(1{\sim}k-1\)的\(d[i][j]\)，然后枚举\(1{\sim}k-1\)的\(d[i][j]\)，然后更新答案，\(ans=min(ans,a[i][k]+a[k][j]+d[i][j])\)，表示包含\(k\)的环，其中\(a\)数组为最初距离。
//#define DEBUG
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=100010;
const int inf=0X3f3f3f3f;
const long long INF = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
const double eps = 1e-6;
const double pi = acos(-1.0);
const int mod = 1000000007;
typedef long long ll;
int ans=60;
ll b[N],a[150][150],d[150][150];
int tot;
int main() {
#ifdef DEBUG
freopen("in.txt","r",stdin);
#endif
int n;
scanf("%d",&n);
ll x;
for(int i=1;i<=n;i++) {
scanf("%lld",&x);
if(x) b[++tot]=x;
}
for(int i=0;i<=60;i++) {
int cnt=0;
for(int j=1;j<=tot;j++) {
if(b[j]&(1ll<<i)) ++cnt;
}
if(cnt>=3) {puts("3");return 0;}
}
for(int i=1;i<=tot;i++) {
for(int j=1;j<=tot;j++)
if(i==j) d[i][j]=a[i][j]=0;
else d[i][j]=a[i][j]=inf;
}
for(int i=1;i<=tot;i++) {
for(int j=1;j<=tot;j++) {
if(i==j) continue;
if(b[i]&b[j]) a[i][j]=d[i][j]=1;
}
}
//memcpy(d,a,sizeof(a));
for(int k=1;k<=tot;k++) {
for(int i=1;i<=k-1;i++) {
for(int j=1;j<=k-1;j++)
if(i!=j&&a[i][k]+a[k][j]+d[i][j]<ans)
ans=a[i][k]+a[k][j]+d[i][j];
}
for(int i=1;i<=tot;i++) {
for(int j=1;j<=tot;j++)
if(d[i][j]>d[i][k]+d[k][j])
d[i][j]=d[i][k]+d[k][j];
}
}
if(ans==60) puts("-1");
else printf("%d\n",ans);
}
