费马小定理和欧拉定理以及推论
定理
欧拉定理
如果$a$与$n$互质，则$a^{\psi(n)}\equiv1(mod\ n)$，$\psi(n)$为$1{\sim}n$与$n$互质的个数
设$x_1,x_2,\ldots,x_{\psi(n)}$与$n$互质，那么考虑这样一些数$ax_1,ax_2,\ldots,ax_{\psi(n)}$
满足以下两个性质：
1、任意两个$ax_i,ax_j$模n余数不相等。
证：假设存在，即$ax_i{\equiv}ax_j(mod\ n)$，则有$n{\mid}(ax_i-ax_j)$，又因为$a$与$n$互质，
而$(x_i-x_j)<n$，所以不存在$n{\mid}(ax_i-ax_j)$，也即不存在$ax_i{\equiv}ax_j(mod\ n)$，从而得证。
归纳：对任意$ax_i$都成立，所以有$\psi(n)$个不同的余数。
2、任意$ax_i$与$n$互质。
证：因为$a$与$n$互质，$x_i$又是与$n$互质的数集中的一个，所以$ax_i$与$n$互质。即$gcd(ax_i,n) =1$，根据欧几里得算法有，$gcd(ax_i,n)=gcd(n,ax_i\%n)=1$。
根据以上性质，可以得出$ax_1(mod\ n),ax_2(mod\ n),\ldots,ax_{\psi(n)}(mod\ n)$ 经过一定排序与$x_1,x_2,\ldots,x_{\psi(n)}$一一对应。
可以写出$ax_1(mod\ n){\ast}ax_2(mod\ n){\ast},\ldots,{\ast}ax_{\psi(n)}(mod\ n)=x_1{\ast}x_2{\ast},\ldots,{\ast}x_{\psi(n)}$
所以有$ax_1{\ast}ax_2{\ast},\ldots,{\ast}ax_{\psi(n)}{\equiv}x_1{\ast}x_2{\ast},\ldots,{\ast}x_{\psi(n)}(mod\ n)$
即$(a^{\psi(n)}-1){\ast}x_1{\ast}x_2{\ast},\ldots,{\ast}x_{\psi(n)}{\equiv}0(mod\ n)$
因为$x_1{\ast}x_2{\ast},\ldots,{\ast}x_{\psi(n)}$与$n$互质，所以$n{\mid}(a^{\psi(n)}-1)$
即$a^{\psi(n)}{\equiv}1(mod\ n)$，欧拉定理得证。
费马小定理
如果$p$为质数，对于任意的$a$，$a^p{\equiv}a(mod\ p)$成立。
证：将上式可以写为$a^{p-1}{\ast}a{\equiv}a(mod\ p)$，因为$a{\equiv}a(mod\ p)$恒成立，所以只须证$a^{p-1} mod \ p =1$
若$a$与$p$互质，由欧拉定理得$a^{p-1}{\equiv}1(mod\ p)$，因为$p$为质数，所以$\psi(p)=p-1$。
若$a$与$p$不互质，则$a^p$一定是$a$的倍数，所以$a^p{\equiv}a{\equiv}0(mod\ p)$。
定理得证。
欧拉定理推论
如果$a$与$p$互质，则$a^b{\equiv}a^{b\ mod\ \psi(p)}(mod\ p)$。
证：同上，将式子可以写为$a^{b-b\ mod\ \psi(p)}{\ast}{a^{b\ mod\ \psi(p)}}{\equiv}a^{b\ mod\ \psi(p)}(mod\ p)$，
因为${a^{b\ mod\ \psi(p)}}{\equiv}a^{b\ mod\ \psi(p)}(mod\ p)$恒成立，
所以只需证$a^{b-b\ mod\ \psi(p)}mod\ p=1$，因为$\psi(p){\mid} (b-b\ mod\ \psi(p))$，
设 $(b-b\ mod\ \psi(p))=q{\ast}\psi(p)$
又因为$a^{q\psi(p)}=(a^{\psi(p)})^q$，$a$与p互质，
所以$(a^{\psi(p)})^q{\equiv}1(mod\ p)$，从而得证$a^{b-b\ mod\ \psi(p)}mod\ p=1$。
所以$a^b{\equiv}a^{b\ mod\ \psi(p)}(mod\ p)$。
