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摘要： 积性函数 若定义域为全体正整数的函数$f(x)\(满足\)\forall gcd(n,m)=1,f(nm)=f(n)f(m)$，则称函数$f(x)$为积性函数。 常见的积性函数有$\epsilon(n),\ \varphi(n),\ \mu(n),\ \sigma_(n),\ id_k(n)$等。 阅读全文

摘要： 斯坦纳树问题是组合优化问题，与最小生成树相似，是最短网络的一种。最小生成树是在给定的点集和边中寻求最短网络使所有点连通。而最小斯坦纳树允许在给定点外增加额外的点，使生成的最短网络开销最小。 上述文字来自百度百科，更$OI$化的表达参见这道模板题 现在我们来考虑解决这个问题。 看到$K$很小，考虑状压 阅读全文

摘要： 斜率优化是一种用数据结构维护$dp$的某种单调性性质从而达到优化$dp$的效果。 抽象的说，斜率优化可通过维护一个下（上）凸壳优化形如$f_i = min_^{ f_j + g_{i,j}}$（$max$同理）的转移方程。 本文只有简单推导，更充分的理解需要数形结合，请移步$OI\ Wiki$或 阅读全文

摘要： $FFT$（快速傅里叶变换） 求的是卷积，也就是 $$C_k=\sum_{i+j=k}A_iB_j$$ 那么 $FWT$（快速沃尔什变换） 求的就是子集卷积，也就是 $$C_{k}=\sum_{i \oplus j=k} A_{i} B_{j}$$ $\oplus$指按位运算$or,and, 阅读全文

摘要： "题目传送门" Description 交互题 有$n$个人$(n=a+b\leq 10^3)$，编号$0$至$n 1$，其中$a$个人诚实地回答问题，$b$个人会任意选择诚实或不诚实地回答问题（以某种策略）。 询问次数$2n$，询问格式为$?\ x\ y$，指问第$x$个人第$y$个人的身份，确定 阅读全文

摘要： 第一类$Stirling$数 $\begin{bmatrix} n \\ m \\ \end{bmatrix}$表示$n$个元素组成$m$个圆排列的方案数。 何为圆排列？即通过排列在一个环上，两两不能通过旋转相互得到的排列的个数。 $$ \begin{bmatrix} n \\ m \\ \end{ 阅读全文

摘要： 概要 $Catalan$数的递推式： $$C_{n+1}=\sum_{i=0}^{n}C_i\cdot C_{n i} \tag{1}$$ $$C_n=C_{n 1}\cdot\frac{4n 2}{n+1} \tag{2}$$ $Catalan$数的递推解（通项式）： $$ C_n=\fr 阅读全文

摘要： 李超线段树是什么？在平面直角坐标系中，它支持插入一条线段（直线），询问$x=x_0$时与它相交的线段中$y$的最大（小）值。 它是如何维护的？抽象的说，就是 标记永久化线段树维护区间内从$y=\infty$往下看没有被覆盖的长度最大的直线 标记永久化 是什么？就是不用$pushdown$啦，不懂可以 阅读全文

摘要： 标记永久化是线段树的一个技巧，常用于无法（或难以）进行$pushdown$的较复杂的数据结构如主席树，树套树等。 如何做？对每个节点维护$sum$和$add$。 考虑修改，当询问与当前区间重合时，更新$add+=val$，对所有经过的区间$sum+=val\cdot (r l+1)$。 考虑询问，累 阅读全文