340. 通信线路（二分，Dijkstra，双端队列）
在郊区有 N 座通信基站，P 条 双向 电缆，第 i 条电缆连接基站 Ai 和 Bi。
特别地，1 号基站是通信公司的总站，N 号基站位于一座农场中。
现在，农场主希望对通信线路进行升级，其中升级第 i 条电缆需要花费 Li。
电话公司正在举行优惠活动。
农产主可以指定一条从 1 号基站到 N 号基站的路径，并指定路径上不超过 K 条电缆，由电话公司免费提供升级服务。
农场主只需要支付在该路径上剩余的电缆中，升级价格最贵的那条电缆的花费即可。
求至少用多少钱可以完成升级。
输入格式
第 1 行：三个整数 N，P，K
第 2..P+1 行：第 i+1 行包含三个整数 Ai,Bi,Li
输出格式
包含一个整数表示最少花费。
若 11 号基站与 N 号基站之间不存在路径，则输出 −1。
数据范围
0≤K<N≤1000
1≤P≤10000
1≤Li≤1000000
输入样例：
5 7 1
1 2 5
3 1 4
2 4 8
3 2 3
5 2 9
3 4 7
4 5 6
输出样例：
4解析：
本题求的是：最大值的最小值 --> 二分（一般最大值的最小值都是使用二分来做）
既然要使用二分来做，我们就需要寻找一个能使用二分来求解的性质，对其加以利用。
性质：从 1 ——N 是否存在一条路径，使得路径中 > mid 的边的个数 <= k 具有二段性。
因此可以对以上性质加以利用。
可以知道 >mid 的边应尽可能的少，所以我们可以使用最短路算法进行求解。
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<string>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<algorithm>
#include<utility>
#include<stack>
#include<queue>
#include<vector>
#include<set>
#include<map>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 1e3 + 5;
int n, m, k;
vector<pair<int, int>>G[N];
int d[N], v[N];
typedef struct st {
int u, w;
}st;
bool operator>(const st& a, const st& b) {
return a.w > b.w;
}
int dij(int w) {
memset(d, 0x3f3f3f3f, sizeof(d));
memset(v, 0, sizeof(v));
priority_queue<st, vector<st>, greater<st>>q;
q.push({ 1,0 });
d[1] = 0;
int t;
while (!q.empty()) {
t = q.top().u;
q.pop();
if (v[t])
continue;
v[t] = 1;
for (int i = 0; i < G[t].size(); i++) {
int j = G[t][i].first, dist = G[t][i].second>w?1:0;
if (d[j] > d[t] + dist) {
d[j] = d[t] + dist;
q.push({ j,d[j] });
}
}
}
if (d[n] == 0x3f3f3f3f)
return d[n];
return d[n] <= k;
}
int main() {
cin >> n >> m >> k;
for (int i = 1,a,b,t; i <= m; i++) {
scanf("%d%d%d", &a, &b, &t);
G[a].push_back({ b,t });
G[b].push_back({ a,t });
}
int l = 0, r = 10, mid,ans=0,tt;
while (l<=r) {
mid = l + (r - l) / 2;
tt = dij(mid);
if (tt == 0x3f3f3f3f) {
cout << -1 << endl;
break;
}
if (tt) {
r = mid-1;
}
else {
l = mid+1;
ans = mid;
}
}
if (tt != 0x3f3f3f3f)
cout << ans << endl;
return 0;
}
由上述分析可知，本题中的实际边权只有 0 和 1 ，因此我们还可以使用双端队列来处理。
#include<iostream>
#include<string>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<algorithm>
#include<utility>
#include<stack>
#include<queue>
#include<vector>
#include<set>
#include<math.h>
#include<map>
#include<sstream>
#include<deque>
#include<unordered_map>
using namespace std;
typedef pair<double, int > PDI;
typedef pair<int, int> PII;
const int N = 1e3+5, M = 2e4 + 5;
int n, p, k;
int h[N], e[M], w[M], ne[M], idx;
int vis[N], d[N];
void add(int a, int b, int c) {
e[idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
}
int check(int mid) {
memset(vis, 0, sizeof vis);
memset(d, 0x3f, sizeof d);
deque<int>dq;
d[1] = 0;
dq.push_back(1);
while (!dq.empty()) {
int t = dq.front();
dq.pop_front();
if (t == n)break;
if (vis[t])continue;
vis[t] = 1;
for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i]) {
int j = e[i];
int v = w[i] >= mid;
if (d[j] > d[t] + v) {
d[j] = d[t] + v;
if (v) {
dq.push_back(j);
}
else {
dq.push_front(j);
}
}
}
}
return d[n] <= k;
}
int main() {
cin >> n >> p >> k;
memset(h, -1, sizeof h);
for (int i = 1,a,b,c; i <= p; i++) {
scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
add(a, b, c);
add(b, a, c);
}
int l = 0, r = 1e6 + 5, mid, ret = 0;
while (l <= r) {
mid = l + (r - l) / 2;
if (check(mid)) {
r = mid - 1;
}
else {
ret = mid;
l = mid + 1;
}
}
if (ret > 1e6) {
cout << -1 << endl;
}
else {
cout << ret << endl;
}
return 0;
}
（此题还可用最短路中的分层图解，详情请看最短路分栏spfa，分层图，340. 通信线路，《算法竞赛进阶指南》_Landing_on_Mars的博客-CSDN博客）
