线性dp，优化记录，273. 分级
273. 分级
给定长度为 N 的序列 A，构造一个长度为 N 的序列 B，满足：
- B 非严格单调，即 B1≤B2≤…≤BN 或 B1≥B2≥…≥BN。
- 最小化 S=∑Ni=1|Ai−Bi|。
只需要求出这个最小值 S。
输入格式
第一行包含一个整数 N。
接下来 N 行，每行包含一个整数 Ai。
输出格式
输出一个整数，表示最小 S 值。
数据范围
1≤N≤2000
0≤Ai≤106
输入样例：
7
1
3
2
4
5
3
9
输出样例：
3解析
这是一道结论题，在做这道题之前先要知道一个结论：
在满足S最小化的前提下，一定会存在一种构造序列B的方案，使得B中的数值都在A中出现过
所以我们可以构造一种B序列，使得B序列的数从排过序的A中选
DP的核心思想是用集合来表示一类方案，然后从集合的维度来考虑状态之间的递推关系。
受上述性质启发，状态表示为：
f[i][j]:前 i 个A 中，第 i 个A与排序后的第 j 个A中选取第 j 个相减所得的最小值
可以发现这是一个不重不漏的集合划分方式
状态转移方程为：
f[i][j]=min(f[i-1][j-k])+abs(A[i]-SA[j])
初始化为 f =0x3f , f[0]=0
i: 1到n
j：1到n
k: 1到j
这显然会超时，所以我们优化一下
将状态转移方程展开：
f[i][j]=min(f[i-1][1],f[i-1][2],f[i-1][3]......f[i-1][j])+abs(A[i]-SA[j])
所以我们可以用前缀处理的思想处理：min(f[i-1][1],f[i-1][2],f[i-1][3]......f[i-1][j])
for (int i = 1; i <= n; i++) {
mn = 0x3f3f3f3f;
for (int j = 0; j <= n; j++) {
mn = min(mn, f[i - 1][j]);
f[i][j] = mn + abs(a[i] - sa[j]);
}
}所以代码就为
#include<iostream>
#include<string>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<algorithm>
#include<utility>
#include<stack>
#include<queue>
#include<vector>
#include<set>
#include<math.h>
#include<map>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 2000 + 5;
int n;
int a[N],sa[N],f[N][N];
int cmp(const int& a, const int& b) {
return a > b;
}
int main() {
scanf("%d", &n);
for (int i = 1; i <= n; i++) {
scanf("%d", &a[i]);
sa[i] = a[i];
}
sort(sa + 1, sa + 1 + n);
memset(f, 0x3f, sizeof(f));
memset(f[0], 0, sizeof(f[0]));
f[0][0] = 0;
int mn = 0x3f3f3f3f;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
mn = 0x3f3f3f3f;
for (int j = 0; j <= n; j++) {
mn = min(mn, f[i - 1][j]);
f[i][j] = mn + abs(a[i] - sa[j]);
}
}
int ans = 0x3f3f3f3f;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
ans = min(ans, f[n][i]);
}
memset(f, 0x3f, sizeof(f));
memset(f[0], 0, sizeof(f[0]));
sort(sa + 1, sa + 1 + n, cmp);
for (int i = 1; i <= n; i++) {
mn = 0x3f3f3f3f;
for (int j = 1; j <= n; j++) {
mn = min(mn, f[i - 1][j]);
f[i][j] = mn + abs(a[i] - sa[j]);
}
}
for (int i = 1; i <= n; i++) {
ans = min(ans, f[n][i]);
}
cout << ans << endl;
return 0;
}
详细的证明：
#include<iostream>
#include<string>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<algorithm>
#include<utility>
#include<stack>
#include<queue>
#include<vector>
#include<set>
#include<math.h>
#include<map>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 2e3 + 5;
int n;
int a[N], b[N];
int f[N][N];
int cmp(const int& a, const int& b) {
return a < b;
}
int dp() {
for (int i = 1; i <= n; i++)
b[i] = a[i];
sort(b + 1, b + 1 + n, cmp);
for (int i = 1; i <= n; i++) {
int minv = 0x3f3f3f3f;
for (int j = 1; j <= n; j++) {
minv = min(minv, f[i-1][j]);
f[i][j] = minv + abs(a[i] - b[j]);
}
}
int ret = 0x3f3f3f3f;
for (int i = 1; i <= n; i++)
ret = min(ret, f[n][i]);
return ret;
}
int main() {
cin >> n;
for (int i = 1; i <= n; i++)
scanf("%d", &a[i]);
int ans = dp();
reverse(a + 1, a + 1 + n);
ans = min(ans, dp());
cout << ans << endl;
return 0;
}