费马小定理，876. 快速幂求逆元

876. 快速幂求逆元 - AcWing题库

给定 n 组 ai,pi，其中 pi 是质数，求 ai 模 pi 的乘法逆元，若逆元不存在则输出 impossible。

注意：请返回在 0∼p−1 之间的逆元。

乘法逆元的定义

若整数 b，m 互质，并且对于任意的整数 a，如果满足 b|a，则存在一个整数 x，使得 a/b≡a×x(modm)，则称 x 为 b 的模 m 乘法逆元，记为 b−1(modm)。

b 存在乘法逆元的充要条件是 b 与模数 m 互质。当模数 m 为质数时，bm−2 即为 b 的乘法逆元。

输入格式

第一行包含整数 n。

接下来 n 行，每行包含一个数组 ai,pi，数据保证 pi 是质数。

输出格式

输出共 n 行，每组数据输出一个结果，每个结果占一行。

若 ai 模 pi 的乘法逆元存在，则输出一个整数，表示逆元，否则输出 impossible。

数据范围

1≤n≤105,
1≤ai,pi≤2∗109

输入样例：

3
4 3
8 5
6 3

输出样例：

1
2
impossible

 解析：

乘法逆元的定义

若整数 b，m 互质，并且对于任意的整数 a，如果满足 b|a（a能整除b），则存在一个整数 x，使得 a/b≡a×x(modm)，则称 x 为 b 的模 m 乘法逆元，记为 b−1(modm)。

b 存在乘法逆元的充要条件是 b 与模数 m 互质。当模数 m 为质数时，bm−2 即为 b 的乘法逆元。

 更通俗的讲：

给你一个数 b ，找出一个 x ，使得 b*x≡1（mod m）b与m互质

根据定义：
a/b≡a*x(mod m)

我设 b 的逆元为 b^-1

则 a/b≡a*b^-1(mod m)

b*a/b≡a*b^-1*b(mod m)

a≡a*b^-1*b (mod m)

可表示为：b*b^-1≡1 （mod m）

所以逆元类似于乘法中的倒数

费马小定理：

b^(p-1)≡1 (mod p)

则 b*b^(p-2)≡1 (mod p)

所以求一个数 b mod p  的逆元，只需要求出 b^(p-2) 即可

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#include<cstring>
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#include<queue>
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#include<set>
#include<map>
using namespace std;
typedef long long LL;
int a, p;

LL quickpow(LL x, LL y, LL mod) {
	LL t = a, ret = 1;
	while (y) {
		if (y & 1)ret = (ret * t) % mod;
		y >>= 1;
		t = (t * t) % mod;
	}
	return ret;
}

int main() {
	int n;
	scanf("%d", &n);
	while (n--) {
		scanf("%d%d", &a, &p);
		LL ret = quickpow(a,p-2,p);
		if (a % p)
			printf("%lld\n", ret);
		else
			printf("impossible\n");
	}
	return 0;
}