P1650 田忌赛马，贪心，线性dp

P1650 田忌赛马 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)

题目描述

我国历史上有个著名的故事：那是在 2300 年以前。齐国的大将军田忌喜欢赛马。他经常和齐王赛马。他和齐王都有三匹马：常规马，上级马，超级马。一共赛三局，每局的胜者可以从负者这里取得 200 银币。每匹马只能用一次。齐王的马好，同等级的马，齐王的总是比田忌的要好一点。于是每次和齐王赛马，田忌总会输 600 银币。

田忌很沮丧，直到他遇到了著名的军师――孙膑。田忌采用了孙膑的计策之后，三场比赛下来，轻松而优雅地赢了齐王 200 银币。这实在是个很简单的计策。由于齐王总是先出最好的马，再出次好的，所以田忌用常规马对齐王的超级马，用自己的超级马对齐王的上级马，用自己的上级马对齐王的常规马，以两胜一负的战绩赢得 200 银币。实在很简单。

如果不止三匹马怎么办？这个问题很显然可以转化成一个二分图最佳匹配的问题。把田忌的马放左边，把齐王的马放右边。田忌的马 A 和齐王的 B 之间，如果田忌的马胜，则连一条权为 200 的边；如果平局，则连一条权为 0 的边；如果输，则连一条权为 −200 的边……如果你不会求最佳匹配，用最小费用最大流也可以啊。然而，赛马问题是一种特殊的二分图最佳匹配的问题，上面的算法过于先进了，简直是杀鸡用牛刀。现在，就请你设计一个简单的算法解决这个问题。

输入格式

第一行一个整数 n ，表示他们各有几匹马（两人拥有的马的数目相同）。第二行 n 个整数，每个整数都代表田忌的某匹马的速度值（0≤ 速度值 ≤100）。第三行 n 个整数，描述齐王的马的速度值。两马相遇，根据速度值的大小就可以知道哪匹马会胜出。如果速度值相同，则和局，谁也不拿钱。

输出格式

仅一行，一个整数，表示田忌最大能得到多少银币。

输入输出样例

输入 #1复制

3
92 83 71
95 87 74

输出 #1复制

说明/提示

数据规模与约定

对于 20%的数据，1≤N≤65；
对于 40% 的数据，1≤N≤250；
对于 100%的数据，11≤N≤2000。

解析：

贪心：
性质：先从大到小排序，
若 a 中剩下的最快的马比 b 中剩下最快的马快，则两只马去比；
若 a 中剩下的最快的马比 b 中剩下的最快的马慢，则用 a 中剩下的最慢的马去输；
若 a 中剩下的最快的马与 b 中剩下最快的马相等，则：
1.a 中剩下的最慢的马与 b 中剩下最慢的马快，则两只最慢的马比
2.a 中剩下的最慢的马不比 b 中剩下最慢的马快，且比 b 中最快的马慢，则用 a 中最慢的马输给 b 中最快的马，否则说明剩下的马都能两两打平

那么最后一种情况存不存在两只最慢的马相等呢？若存在为什么不让这两组相等的马打平手呢？
其实如果存在这种情况，那么 a 中倒数第二慢的马一定能赢 b 中最慢的马（因为性质的最后一句），且 a 中最快的马一定能赢 b 中第二快的马

dp：
根据上述贪心的性质我们已经有了推理的方向，因此我们可以据此将集合划分为两个不重不漏的子集：
f[i][j] ：表示第 i 从比赛时从 a 的前面选了 j 匹马所赢的最大金币数量
状态转移方程为：f[i][j]=max(f[i-1][j]+g[n-i+j+1][i],f[i-1][j-1]+g[j][i])
其中 g[j][i] 表示 a 中的第 j 匹马与 b 中的第 i 匹马比是能赢200，-200，0

贪心代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<string>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<algorithm>
#include<utility>
#include<stack>
#include<queue>
#include<vector>
#include<set>
#include<map>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 2e3 + 3, INF = 2e8;
int n;
int a[N], b[N];

int cmp(const int& a, const int& b) {
	return a > b;
}

int main() {
	cin >> n;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		scanf("%d", &a[i]);
	}
	for (int j = 1; j <= n; j++) {
		scanf("%d", &b[j]);
	}
	sort(a + 1, a + 1 + n, cmp);
	sort(b + 1, b + 1 + n, cmp);
	int ans = 0,la,lb,ra,rb;
	la = lb = 1;
	ra = rb = n;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		if (a[la] > b[lb]) {
			ans+=200;
			la++, lb++;
		}
		else if (a[la] < b[lb]) {
			ans -= 200;
			ra--;
			lb++;
		}
		else if (a[ra] > b[rb]) {
			ans += 200;
			ra--;
			rb--;
		}
		else {
			if (a[ra] < b[lb])ans -= 200;
			ra--;
			lb++;
		}
	}
	cout << ans << endl;
	return 0;
}

dp：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<string>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<algorithm>
#include<utility>
#include<stack>
#include<queue>
#include<vector>
#include<set>
#include<map>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 2e3 + 3, INF = 2e8;
int n;
int a[N], b[N], g[N][N], f[N][N];

int cmp(const int& a, const int& b) {
	return a > b;
}

int main() {
	cin >> n;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		scanf("%d", &a[i]);
	}
	for (int j = 1; j <= n; j++) {
		scanf("%d", &b[j]);
	}
	sort(a + 1, a + 1 + n, cmp);
	sort(b + 1, b + 1 + n, cmp);
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		for (int j = 1; j <= n; j++) {
			if (a[i] > b[j])g[i][j] = 200;
			else if (a[i] < b[j])g[i][j] = -200;
			else g[i][j] = 0;
			f[i][j] = -INF;
		}
	}
	for (int i = 1; i <= n; i++) {

		f[i][i] = f[i - 1][i - 1] + g[i][i];
		f[i][0] = f[i - 1][0] + g[n - i + 1][i];
		for (int j = 1; j < i; j++) {
			f[i][j] = max(f[i - 1][j] + g[n - i + j + 1][i], f[i - 1][j - 1] + g[j][i]);
		}
	}
	int ans = f[n][1];
	for ( int i = 1; i <= n; i++) {
		ans = max(ans, f[n][i]);
	}
	cout << ans << endl;
	return 0;
}

posted @ 2023-10-20 20:37 Landnig_on_Mars 阅读(10) 评论(0) 编辑收藏举报来源

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