P2359 三素数数 , 线性dp

题目背景

蛟川书院的一道练习题QAQ

题目描述

如果一个数的所有连续三位数字都是大于100的素数，则该数称为三素数数。比如113797是一个6位的三素数数。

输入格式

一个整数n（3 ≤ n ≤ 10000），表示三素数数的位数。

输出格式

一个整数，表示n位三素数的个数m，要求输出m除以10^9 + 9的余数。

输入输出样例

输入 #1复制

4

输出 #1复制

204

说明/提示

区域动归QAQ

解析：

第一次的错误做法：

f[i] 表示前 i 为的三素数的个数，f[i]=f[i-3]*t+f[i-2]+f[i-1], t 表示 1 到 1e3 内的素数的个数

这个做法是错误的，题目的意思应该是任意三个连续的数组成的三位数一定是素数，上述的做法只考虑了当前连续的三个数，而非任意任意三个连续的数，所以上述做法是错误的

正确的做法：

最容易，最直接的划分方式：f[i][j][k][l] 表示前 i 位，最近的三位数，百位为 j ，十位为 k，个位为 l 的三素数个的个数

状态转移方程：f[i][j][k][l]=(f[i-1][k][l][p]+f[i][j][k][l])%mod;

初始化 f[3][j][k][l]=1;

时间复杂度为O(1e3*n),最坏情况为 1e8

优化：

我们可以发现上述划分集合的最后一维是可以省去的：

f[i][j][k] 表示： 最近的三位数，百位为 j ，十位为 k，个位为 l 的三素数个的个数，这里 l 省去了，

f[i][j][k]=(f[i][j][k]+f[i-1][k][l])%mod;

初始化可以不改变，也可以改为：f[2][j][k]=1;

优化前的代码：
 

#include<iostream>
#include<string>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<algorithm>
#include<utility>
#include<stack>
#include<queue>
#include<vector>
#include<set>
#include<math.h>
#include<map>

using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 1e4 + 3, M = 1e3,mod=1e9+9;
int n;
LL f[N][11][11][11];
int an[M];
vector<int>prime;

void init() {
	an[1] = 1;
	for (int i = 2; i < M; i++) {
		if (an[i] == 0) {
			prime.push_back(i);
		}
		for (int j = 0; j < prime.size() && prime[j] * i < M; j++) {
			an[prime[j] * i] = 1;
		}
	}
}


int main() {
	init();
	cin >> n;
	for (int j = 1; j <= 9; j++) {
		for (int k = 0; k <= 9; k++) {
			for (int l = 0; l <= 9; l++) {
				f[3][j][k][l] = 1;
			}
		}
	}
	int t=0,tt=0;
	for (int i = 4; i <= n; i++) {
		for (int j = 1; j <= 9; j++) {
			for (int k = 0; k <= 9; k++) {
				for (int l = 0; l <= 9; l++) {
					for (int p = 0; p <= 9; p++) {
						t = j * 100 + k * 10 + l;
						tt = k * 100 + l * 10 + p;
						if (!an[t]&&!an[tt]) {
							f[i][j][k][l] = (f[i - 1][k][l][p] + f[i][j][k][l])%mod;
						}
					}
				}
			}
		}
	}
	LL ans = 0;
	for (int j = 0; j <= 9; j++) {
		for (int k = 0; k <= 9; k++) {
			for (int l = 1; l <= 9; l++) {
				t = j * 100 + k * 10 + l;
				if (!an[t])
					ans = (ans + f[n][j][k][l]) % mod;
			}
		}
	}
	cout << ans << endl;
	return 0;
}

优化后的代码

#include<iostream>
#include<string>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<algorithm>
#include<utility>
#include<stack>
#include<queue>
#include<vector>
#include<set>
#include<math.h>
#include<map>

using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 1e4 + 3, M = 1e3, mod = 1e9 + 9;
int n;
LL f[N][11][11];
int an[M];
vector<int>prime;

void init() {
	an[1] = 1;
	for (int i = 2; i < M; i++) {
		if (an[i] == 0) {
			prime.push_back(i);
		}
		for (int j = 0; j < prime.size() && prime[j] * i < M; j++) {
			an[prime[j] * i] = 1;
		}
	}
}

int main() {
	init();
	cin >> n;
	for (int j = 0; j <= 9; j++) {
		for (int k = 0; k <= 9; k++) {
			f[2][j][k] = 1;
		}
	}
	int t = 0, tt = 0;
	for (int i = 3; i <= n; i++) {
		for (int j = 1; j <= 9; j++) {
			for (int k = 0; k <= 9; k++) {
				for (int l = 0; l <= 9; l++) {
					t = j * 100 + k * 10 + l;
					if (!an[t]) {
						f[i][j][k] = (f[i - 1][k][l] + f[i][j][k]) % mod;
					}
				}
			}
		}
	}
	LL ans = 0;
	for (int j = 0; j <= 9; j++) {
		for (int k = 0; k <= 9; k++) {
			ans = (ans + f[n][j][k]) % mod;
		}
	}
	cout << ans << endl;
	return 0;
}