1010. 拦截导弹，贪心（附贪心证明），dp
某国为了防御敌国的导弹袭击，发展出一种导弹拦截系统。
但是这种导弹拦截系统有一个缺陷：虽然它的第一发炮弹能够到达任意的高度，但是以后每一发炮弹都不能高于前一发的高度。
某天，雷达捕捉到敌国的导弹来袭。
由于该系统还在试用阶段，所以只有一套系统，因此有可能不能拦截所有的导弹。
输入导弹依次飞来的高度（雷达给出的高度数据是不大于30000的正整数，导弹数不超过1000），计算这套系统最多能拦截多少导弹，如果要拦截所有导弹最少要配备多少套这种导弹拦截系统。
输入格式
共一行，输入导弹依次飞来的高度。
输出格式
第一行包含一个整数，表示最多能拦截的导弹数。
第二行包含一个整数，表示要拦截所有导弹最少要配备的系统数。
数据范围
雷达给出的高度数据是不大于 3000030000 的正整数，导弹数不超过 10001000。
输入样例：
389 207 155 300 299 170 158 65
输出样例：
6
2解析：
贪心猜想：
从前往后扫描每个数，对于每个数：
情况1：如果现存的下降子序列的结尾的数都小于当前的数，则创建新的子序列
情况2：将当前数放到子序列结尾数最小的大于等于它的子序列后面
贪心猜想的证明：
令 A = 贪心的结果，B = 最优解；
则只需证明 A<=B 且 B<=A；（常用贪心证明方式）
B<=A:
这显然成立，因为 B 为最优解
A<=B：
使用调整法：
最优情况下放置的位置非当前 X 放置的位置，则最有情况下放置的位置的结尾数一定小于当前 X 放置的位置，则我们根据上述贪心的方法一定可以将 X 放置到最优情况的位置，且不增加下降子序列的个数
所以：A<=B
综上所述，此贪心方法一定可以得到最优解
我们发现这个方法是最长上升子序列问题 的贪心解法
896. 最长上升子序列 II - AcWing题库
这道题的另一种就是直接使用Dilworth 定理
这里我们实际上是将这个定理给证明了；
#include<iostream>
#include<string>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<algorithm>
#include<utility>
#include<stack>
#include<queue>
#include<vector>
#include<set>
#include<math.h>
#include<map>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 1e3 + 5;
int n;
int q[N], f[N],g[N];
int main() {
while (cin >> q[n])n++;
int ans = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
f[i] = 1;
for (int j = 1; j < i; j++) {
if (q[i] <= q[j])
f[i] = max(f[i], f[j] + 1);
}
ans = max(ans, f[i]);
}
cout<<ans<<endl;
int cnt = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
int k = 0;
while (k < cnt && g[k] < q[i])k++;
g[k] = q[i];
if (k >= cnt)cnt++;
}
cout << cnt << endl;
return 0;
}
