[BZOJ]1046 上升序列(HAOI2007)

　　和字典序有关的题型啊。

Description

　　对于一个给定的S={a1,a2,a3,…,an},若有P={ax1,ax2,ax3,…,axm},满足(x1 < x2 < … < xm)且(ax1 < ax2 < … < axm)。那么就称P为S的一个上升序列。如果有多个P满足条件，那么我们想求字典序最小的那个。任务给出S序列，给出若干询问。对于第i个询问，求出长度为Li的上升序列，如有多个，求出字典序最小的那个（即首先x1最小，如果不唯一，再看x2最小……），如果不存在长度为Li的上升序列，则打印Impossible.

Input

　　第一行一个N，表示序列一共有N个元素第二行N个数，为a1,a2,…,an 第三行一个M，表示询问次数。下面接M行每行一个数L，表示要询问长度为L的上升序列。

Output

　　对于每个询问，如果对应的序列存在，则输出，否则打印Impossible。

Sample Input

　　6
　　3 4 1 2 3 6
　　3
　　6
　　4
　　5

Sample Output

　　Impossible
　　1 2 3 6
　　Impossible

HINT

　　N<=10000，M<=1000。

 

Solution

　　看到字典序和上升子序列DP，小C想起了APIO2009的那道convention。

　　（不要吐槽小C的做题顺序）

　　既然要取字典序最小的，那肯定就是从小的取起，能取就取。

　　那什么情况算是能取的呢？

　　设要取的上升序列长度为len，已经取了x个数，且最后一个数大小为last。

　　设我们当前要取的数的位置为i，数的大小为a[i]，以这个位置开头的最长上升子序列长度为d[i]。

　　那么如果a[i]>last且d[i]+x>=len那么i这个位置的数就能取，也就是必须取。

　　我们来分析为什么这两个条件可以决定这个数取不取。

　　　　a[i]>last是上升序列的必要条件，我们已经满足了last必须取，且上一个取last一定能构造出答案，所以从字典序最小的角度来说，我们不能用a[i]来替换last。

　　　　d[i]+x>=len则是能构造出长度为len的答案的充分条件，因为d[i]满足二分性，如果d[i]>=len-x，那么一定存在一个以a[i]开头长度为len-x的上升序列接在last后面，从字典序最小的角度来说，我们取它显然最优。

　　剩下就是求d[i]了嘛。求最长上升子序列谁不会啊？

　　其实是正常的字典序也好，还是这题的逗比字典序也好，用以上的思路都是可以做的。

　　时间复杂度O(nlogn+n*m)。

 

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <vector>
#define MN 10005
#define MM 1005
using namespace std;
struct meg{int val,pos;}b[MM];
int f[MN],a[MN],p[MN],lb[MM],ans[MM][MN],t[MN<<2];
int nin,n,m,MQ;

inline int read()
{
    int n=0,f=1; char c=getchar();
    while (c<'0' || c>'9') {if(c=='-')f=-1; c=getchar();}
    while (c>='0' && c<='9') {n=n*10+c-'0'; c=getchar();}
    return n*f;
}

void dfs(int depth,int x,int L,int R,int ps)
{
    register int i,j,dx,mx=L-1;
    for (i=x;i<=n;++i)
    {
        if (a[i]<=ps) continue;
        dx=lower_bound(lb+1,lb+m+1,f[i]+depth)-lb-1;
        if (dx>mx)
        {
            for (j=mx+1;j<=dx;++j) ans[b[j].pos][depth]=a[i],mx=lb[j]==depth?j:mx;
            if (dx>mx) {dfs(depth+1,i+1,mx+1,dx,a[i]); mx=dx;}
            if (mx==R) break;
        }
    }
}

inline void getad(int x,int z) {for (x+=MQ;x&&z>t[x];x>>=1) t[x]=z;}
inline int getmx(int L,int R)
{
    if (L>R) return 0;
    register int lt=0;
    for (L+=MQ,R+=MQ;L<=R;L>>=1,R>>=1)
    {
        if ( L&1) lt=max(lt,t[L++]);
        if (~R&1) lt=max(lt,t[R--]);
    }
    return lt;
}
bool cmp(const meg& a,const meg& b) {return a.val<b.val;}

int main()
{
    register int i,j;
    n=read();
    for (i=1;i<=n;++i) a[i]=p[i]=read();
    sort(p+1,p+n+1);
    nin=unique(p+1,p+n+1)-p-1;
    for (i=1;i<=n;++i) a[i]=lower_bound(p+1,p+nin+1,a[i])-p;
    for (MQ=1;MQ<nin;MQ<<=1); --MQ;
    for (i=n;i;--i) f[i]=getmx(a[i]+1,nin)+1,getad(a[i],f[i]);
    m=read();
    for (i=1;i<=m;++i) b[i].val=read(),b[i].pos=i;
    sort(b+1,b+m+1,cmp);
    for (i=1;i<=m;++i) lb[i]=b[i].val;
    dfs(1,1,1,m,0);
    for (i=1;i<=m;++i)
    {
        if (!ans[i][1]) {puts("Impossible"); continue;}
        printf("%d",p[ans[i][1]]);
        for (j=2;ans[i][j];++j) printf(" %d",p[ans[i][j]]); puts("");
    }
}

 

Last Word

　　不知道为什么突然想把询问排序然后一起做想降低常数，不过常数好像更大了233。

　　因为看错字典序的缘故，小C的代码画风有点崩坏……（其实本来就很崩）