约数个数 和 约数之和

约数个数和约数之和

约数个数

一个数a的约数个数

​ a = p₁^a1 x p₂^a2 x p₃^a3 ... p_k^ak

p₁ p₂ p₃ ... p_k 都是a中的质因数，a₁ a₂ a₃ 就是其中的p₁ p₂ p₃ 的个数。

所以约数个数为一个排列组合：

可以在 p₁ 中选择 0 ~ a₁ 任意个数，

​ 在 p₂ 中选择 0 ~ a₂ 任意个数，

​ 在 p₃ 中选择 0 ~ a₃ 任意个数，然后他们的乘积，就是a 的约数

所以约数的个数 = （a₁+1）x（a₂+1）x （a₃+1）... x（a_k+1）

代码：

#include <iostream>
#include <map>//unordered_map会快很多，因为它的插入是O（1）的时间复杂度
using namespace std;
typedef long long ll;
map<int,ll> mp;
const ll mod = 1e9+7;
int main(){ 
    int n;
    cin>>n;
    int x;
    for(int i=0;i<n;i++){
        cin>>x;
        for(int j=2;j*j<=x;j++){
            int num=0;
            while(x%j==0){
                x/=j;
                num++;  
            }
            mp[j]+=num;
        }
        if(x>1) mp[x]++;
    }
    ll ans=1;
    for(auto it=mp.begin();it!=mp.end();it++){
        ans=(ans*(1+it->second))%mod;
    }
    cout<<ans;
    return 0;
}

约数之和

同理

​ a = p₁^a1 x p₂^a2 x p₃^a3 ... p_k^ak

所以a的约数为

p₁⁰ x p₂⁰ ... x p_k⁰ +

p₁⁰ x p₂⁰ ... x p_k¹

...

所以约数之和 = （p₁⁰ +p₁¹+...p₁^a1）x (p₂⁰ +p₂¹+...p₂^a2）... (p_k⁰ +p_k¹+...p_k^ak）

相当于从每个括号里选一个数

ac代码：

#include <iostream>
#include <unordered_map>
using namespace std;
typedef long long ll;
unordered_map<int,ll> mp;
const ll mod = 1e9+7;
int main(){ 
	int n;
	cin>>n;
	int x;
	for(int i=0;i<n;i++){
		cin>>x;
		for(int j=2;j*j<=x;j++){
			int num=0;
			while(x%j==0){
				x/=j;
				num++;	
			}
			mp[j]+=num;
		}
		if(x>1) mp[x]++;
	}
	ll ans=1;
	for(auto it=mp.begin();it!=mp.end();it++){
		ll p=it->first,a=it->second;
		ll t=1;
		while(a--)
	    	t=(t*p+1)%mod;
	    ans=(ans*t)%mod;
	}
	cout<<ans;
	return 0;
}