背包问题
DP（动态规划）学习笔记
背包问题
① 01背包 每件物品最多使用一次
② 完全背包 每件物品有无限个
③ 多重背包 每种物品最多有si个 （存在朴素版和优化版）
④ 分组背包 每组最多只能选 1 个
DP优化：对dp方程进行等价变形
DP最重要的就是公式推导（对于当前状态的计算）
要满足两个条件：①不重 ②不漏
1.01背包问题
题目链接：https://www.acwing.com/problem/content/2/
最简单的01背包
dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-v[i]]+w[i]);
当前的值等于加入第i个物品和不加入第i个数（保证体积总值小于v）的最大的值。
1.朴素版：
#include <iostream>
using namespace std;
const int maxn=1e3+5;
int v[maxn],w[maxn];
int dp[maxn][maxn];
int main(){
int n,na;
cin>>n>>na;
for(int i=1;i<=n;i++){
cin>>v[i]>>w[i];
}
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=na;j++){
dp[i][j]=dp[i-1][j];
if(j>=v[i])
dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-v[i]]+w[i]);
}
}
cout<<dp[n][na];
return 0;
}
2.空间（和时间）优化版
可以使用滚动数组来优化（节约空间）
同时在第二遍循环的时候节约了时间
因为f（i）这层只用到了f（i-1）这一层。
#include <iostream>
using namespace std;
const int maxn = 1e3+5;
int v[maxn],w[maxn];
int dp[maxn];
int main(){
int n,r;
cin>>n>>r;
for(int i=1;i<=n;i++){
cin>>v[i]>>w[i];
}
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=r;j>=v[i];j--){//必须从后往前遍历（因为）
dp[j]=max(dp[j],dp[j-v[i]]+w[i]);
}
}
cout<<dp[r];
return 0;
}
2.完全背包
每件物品可以放入无限次，求最大价值。
题目链接：https://www.acwing.com/problem/content/3/
1.朴素版
状态转移公式
$$
dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-kv[i]]+kw[i]);
$$
相当于不选和选k个进行比较，找到最大的价值
#include <iostream>
using namespace std;
const int maxn = 1e3+5;
int v[maxn],w[maxn];
int dp[maxn][maxn];
int main(){
int n,m;
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=n;i++) cin>>v[i]>>w[i];
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=0;j<=m;j++){
for(int k=0;k*v[i]<=j;k++){
dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-k*v[i]]+k*w[i]);
}
}
}
cout<<dp[n][m];
return 0;
}
2.优化版
//普通优化
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 1e3+4;
int v[N],w[N];
int dp[N][N];
int main(){
int n,m;
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=n;i++) cin>>v[i]>>w[i];
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=0;j<=m;j++){
dp[i][j]=dp[i-1][j];
if(j>=v[i]) dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i][j-v[i]]+w[i]);
}
}
cout<<dp[n][m];
return 0;
}
//滚动数组形式
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 1e3+4;
int v[N],w[N];
int dp[N];
int main(){
int n,m;
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=n;i++) cin>>v[i]>>w[i];
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=v[i];j<=m;j++){
dp[i]=max(dp[i],dp[j-v[i]]+w[i]);
}
}
cout<<dp[m];
return 0;
}
3.多重背包
每件物品最多能放入si次，求最大价值。
题目链接：https://www.acwing.com/problem/content/4/
1.朴素版
时间复杂度O（n v s）
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 1e3+4;
int v[N],w[N],s[N];
int dp[N][N];
int main(){
int n,m;
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=n;i++) cin>>v[i]>>w[i]>>s[i];
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=0;j<=m;j++){
for(int k=0;k<=s[i]&&k*v[i]<=j;k++){
dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-1][j-k*v[i]]+k*w[i]);
}
}
}
cout<<dp[n][m];
return 0;
}
2.优化为01背包版
题目链接：https://www.acwing.com/problem/content/5/
二进制优化方式
将si个物品打包好后简化成01背包问题。
例：1023
1 2 4 8 ，，，512 进行01背包可以凑出1-1023中任意的数。
1 ->0 1
1 2 -> 0 1 2 3
1 2 3 -> 0 1 2 3 4 5 6
1...512 -> 0-1023
这样就把应该枚举的1024次简化为了10次。
200
1 2 4 8 16 32 64 73(200-127)
8次可以简化200次 lg 200
优化后的时间复杂度O（n v lg s）
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 250005,M=2010;
int v[N],w[N],dp[N],cnt;
int main(){
int n,m;
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=n;i++){
int a,b,s;
cin>>a>>b>>s;
int k=1;
while(k<=s){//将s拆分
cnt++;
v[cnt] = a*k;
w[cnt] = b*k;
s-=k;
k*=2;
}
if(s>0){//如果还有剩余
cnt++;
v[cnt]=a*s;
w[cnt]=b*s;
}
}
n=cnt;
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=m;j>=v[i];j--){
dp[j]=max(dp[j],dp[j-v[i]]+w[i]);
}
}
cout<<dp[m];
return 0;
}
4.分组背包
注（滚动数组）：如果是从上一层数组更新，那么从后往前遍历。
如果是从当前这层数组更新，那么从前往后遍历。
每组要一种，求最大价值
题目链接：https://www.acwing.com/problem/content/9/
直接上滚动数组版
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 110;
int n,m;
int v[N][N],w[N][N],s[N];
int f[N];
int main(){
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=n;i++){
cin>>s[i];//存的是每组的个数
for(int j=0;j<s[i];j++){
cin>>v[i][j]>>w[i][j];
}
}
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=m;j>=0;j--){
for(int k=0;k<s[i];k++){
if(v[i][k]<=j){
f[j]=max(f[j],f[j-v[i][k]]+w[i][k]);
}
}
}
}
cout<<f[m];
return 0;
}
本博客是借鉴yxc(y总)视频总结的笔记。
