Nim游戏（博弈论）

今天我想跟大家分享的是一个博弈论游戏，我觉得这种类型的题目第一次遇到还是很有思维含量的，里面着重介绍了一些难懂的点，不说废话了，直接引入正题啦

 

 

Nim游戏

给定 n 堆石子，两位玩家轮流操作，每次操作可以从任意一堆石子中拿走任意数量的石子（可以拿完，但不能不拿），最后无法进行操作的人视为失败。

问如果两人都采用最优策略，先手是否必胜。

输入格式

第一行包含整数 n。

第二行包含 n 个数字，其中第 ii 个数字表示第 ii 堆石子的数量。

输出格式

如果先手方必胜，则输出 Yes。

否则，输出 No。

数据范围

1≤n≤10^5,
1≤每堆石子数≤10^9

输入样例：

2
2 3

输出样例：

Yes


先说下结论吧，然后我会给出证明
当这n个数的异或结果为0时，先手必败，否则先手必胜（前提是他们都足够聪明哈哈）
证明：
不难发现，当最后一个玩家拿走最后的石子后，所有的石子都被拿完了，那么此时所有石子的异或值肯定为0；
我们假设初始值满足所有石子的异或和不为0，我们证明先手能够做到将所有石子的异或值变为0：
假设a1^a2^……^an=x!=0
我们假设x的二进制位串上1所在的最高位为k，那么x1~xn中至少有一个数第k位也为1，不妨假设这堆石子个数为aj，
先来证明一下aj^x<aj
不难发现，aj中第k位由1变成了0，而第k位之上的数都没有发生改变，故aj^x<aj显然成立
那我们就将aj这堆石子数目取至aj^x;则a1^a2^……^aj^x^……^an=x^x=0;
所以结论成立
下面我们证明一下当原先石子异或值为0，我们怎样操作都无法保证异或值仍然为0
假设a1^a2^……^an=0，我们将aj取至m（aj>m）仍然有a1^a2^……^m^……^an=0成立，我们将两个式子异或在一起可得
aj^m=0,又因为aj!=x，所以这是不可能的，故原假设不成立，证毕！
通过这两个结论的证明，我们可以发现一个玩家可以将石子异或值由非0变为0，所以只要一个玩家一直能保证石子异或值为0，那么他就会必胜！
代码比较简单，重点是要理清思路

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{
    int n;
    cin>>n;
    int ans=0,t;
    while(n--)
    {
        cin>>t;
        ans^=t;
    }
    if(ans) printf("Yes");
    else printf("No");
    return 0;
}

希望大家能够喜欢！