树状数组
今天想跟大家分享的东西是树状数组，什么是树状数组呢？根据名字就能大致推出就是利用我们常见的数组来模拟树状结构。那么他可以解决哪些问题呢？我最后会加以说明。
首先我们来说下树状数组长什么样子呢？
在这副图片上我们可以看到有两种元素的数组，黑颜色的数组代表原来的数组，我们用a[ ]来表示吧，而红颜色的数组代表我们要构造的树状数组，我们用b[ ]来表示。每个红颜色的数组里面存放的是它下面节点元素的和，观察图片不难得出：
c[1]=a[1]
c[2]=c[1]+a[2]=a[1]+a[2]
c[3]=a[3]
c[4]=c[2]+c[3]+a[4]=a[1]+a[2]+a[3]+a[4]
c[5]=a[5]
c[6]=c[5]+a[6]=a[5]+a[6]
c[7]=a[7]
c[8]=c[4]+c[6]+c[7]+a[8]=a[1]+a[2]+a[3]+a[4]+a[5]+a[6]+a[7]+a[8]
我们现在从上面的一些例子中找一下规律；我们不难发现如果n为2的幂次，那么c[n]=a[1]+a[2]+.....+a[n]，那么这样的n在二进制表示下又有什么规律呢？我们发现它的二进制表示中只有最高位是1，其余位均是0，那么这与二进制表示下的数的最低位到最高位有没有什么关系呢？事实上c[n]=a[n-2^m+1]+a[n-2^m+2]+.....+a[n]其中m为n的二进制表示中从低位开始直到找到第一个1为止，这中间的0的长度。
那么这个m该如何求呢，m=n&(-n);举个例子来说：
n为12，则二进制表示为1100，那么它的反码为各位取反，即0011,则此时为1的地方在n中都为0，那么将其反码加1则会使原来n中第一个1及其之前的数保持不变，而之后的数均被取反，那么他们做&运算会保留下第一个为1的数，这也就是lowbit函数的原理啦。
我们常见的区间问题主要有以下几种：
（1）单点更新，单点查询；
（2）单点更新，区间查询 ；
（3）区间更新，单点查询；
（4）区间更新，区间查询；
第一个问题用 一个普通的一维数组即可实现，在这里就不多说了，我主要想介绍一下后三个问题的处理方法。
我们先处理第二个问题，如果我们对a[i]进行修改，我们所构造的数组是储存a数组的和，所以肯定会受到影响，但是哪些元素受到影响了呢？实际上是c[i+2^m],c[i+2^m+2^m]......;不难发现，这个操作恰好可以用lowbit函数解决。下面给出建立树状数组的板子：
int lowbit(int x)//求出x中第一个为1的位置 { return x&(-x); } void update(int x,int k)//构造树状数组 { while(x<=n) { c[x]+=k; x+=lowbit(x); } } int sum(int i)//实现查询 { int res=0; while(i>0) { res+=c[i]; i-=lowbit(i); } return res; }
这就是单点更新，区间查询的板子了。下面给一个例题：（纯模板）洛谷3374
题目描述
如题，已知一个数列，你需要进行下面两种操作：
-
将某一个数加上 xx
-
求出某区间每一个数的和
输入格式
第一行包含两个正整数 n,mn,m，分别表示该数列数字的个数和操作的总个数。
第二行包含 nn 个用空格分隔的整数，其中第 ii 个数字表示数列第 ii 项的初始值。
接下来 mm 行每行包含 33 个整数，表示一个操作，具体如下：
-
1 x k含义：将第 xx 个数加上 kk -
2 x y含义：输出区间 [x,y][x,y] 内每个数的和
输入输出样例
5 5 1 5 4 2 3 1 1 3 2 2 5 1 3 -1 1 4 2 2 1 4
14 16
#include<iostream> using namespace std; int a[500010],c[500010]; int n,m; int lowbit(int x) { return x&(-x); } void update(int x,int k) { while(x<=n) { c[x]+=k; x+=lowbit(x); } } int sum(int i) { int res=0; while(i>0) { res+=c[i]; i-=lowbit(i); } return res; } int main() { cin>>n>>m; for(int i=1;i<=n;i++) { cin>>a[i]; update(i,a[i]);//每输入一次值就更新一次所构造的数组 } int a,b,c; while(m--) { cin>>a>>b>>c; if(a==1) update(b,c); if(a==2) cout<<(sum(c)-sum(b-1))<<endl; } return 0; }
我们现在来考虑第三个问题，也就是单点区间更新，单点查询；暴力做法就是在修改区间内的数一个一个修改，但这样的复杂度显然有点高，我们怎样能够通过树状数组来实现这个操作呢？我们联想一下普通数组的区间更新，区间查询问题，我们当时是构造的差分数组，同样的，我们在这里也可以构造一个差分数组d[]，那么d[n]不就表示a[n]-a[n-1]了吗，那么c[n]=d[1]+d[2]+d[3]+....+d[n]=a[1]+(a[2]-a[1])+(a[3]-a[2])+....+(a[n]-a[n-1])=a[n]，也就是说我们单点查询的结果就是d数组的前缀和，也就是对应的a数组的值。下面给出一道例题：（纯模板）
如题，已知一个数列，你需要进行下面两种操作：
-
将某区间每一个数数加上 xx；
-
求出某一个数的值。
输入格式
第一行包含两个整数 NN、MM，分别表示该数列数字的个数和操作的总个数。
第二行包含 NN 个用空格分隔的整数，其中第 ii 个数字表示数列第 ii 项的初始值。
接下来 MM 行每行包含 22 或 44个整数，表示一个操作，具体如下：
操作 11： 格式：1 x y k 含义：将区间 [x,y][x,y] 内每个数加上 kk；
操作 22： 格式：2 x 含义：输出第 xx 个数的值。
输出格式
输出包含若干行整数，即为所有操作 22 的结果。
输入输出样例
5 5 1 5 4 2 3 1 2 4 2 2 3 1 1 5 -1 1 3 5 7 2 4
6 10
下面是代码
#include<iostream> using namespace std; int a[500010],c[500010]; int n,m; int lowbit(int x) { return x&(-x); } void update(int x,int k) { while(x<=n) { c[x]+=k; x+=lowbit(x); } } int sum(int i) { int res=0; while(i>0) { res+=c[i]; i-=lowbit(i); } return res; } int main() { cin>>n>>m; for(int i=1;i<=n;i++) { cin>>a[i]; update(i,a[i]-a[i-1]);//我们所构造的是差分数组 } int a,b,c,d; while(m--) { cin>>a; if(a==1) { cin>>b>>c>>d; update(b,d);//更新数组左边界 update(c+1,-d);//更新数组右边界
} if(a==2) { cin>>c; cout<<sum(c)<<endl; } } return 0; }
最后一个问题就是区间更新区间查询了，这个问题我们又应该如何构造树状数组呢？这个呢我们还是利用差分的思想，有一些符号我还不会打，分析过程我就写在纸上了，哈哈，下面给大家附上图片：
例题找不到了，只能给出大家板子了
#include<iostream> using namespace std; int a[500010],c[500010],d[500010]; int n,m; int lowbit(int x) { return x&(-x); } void update(int x,int k) { int t=x-1; while(x<=n) { c[x]+=k;//维护差分数组 d[x]+=t*k;//维护（i-1）*d[i] x+=lowbit(x); } } int sum(int i)//求和 { int res=0,x=i; while(i>0) { res+=x*c[i]-d[i]; i-=lowbit(i); } return res; } int main() { cin>>n>>m; for(int i=1;i<=n;i++) { cin>>a[i]; update(i,a[i]-a[i-1]); } int a,b,c,d; while(m--) { cin>>a; if(a==1)//在b~c区间上加上d { cin>>b>>c>>d; update(b,d); update(c+1,-d); } if(a==2)//输出b~c区间的和 { cin>>b>>c; cout<<sum(c)-sum(b-1)<<endl; } } return 0; }
总结：树状数组功能性不如线段树强，但它的代码比较简单，可用于解决很多关于区间上的基础问题。
码了近三个小时，总算是码完了，码字不易，如果能够帮助到大家的话，希望大家能够动动手点个赞再走，谢谢啦~
