【DSP】 01 简介&离散系统概述

  • 写这个文档大概是为了以后复习时用以及供未来查阅
  • 文档内容不保证全部正确,如有错误和缺失大概是我上课睡着了……
  • 文档内容主要是一些听课的笔记,目前未进行总结归纳之类(大概就是笔记ppt照搬)

现实中信号往往是连续的或者说是模拟的,但是在实际的通信系统中,几乎都是采用离散时间信号。

1. 离散信号概述

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现代的信号处理系统往往会通过ADC进行采样,将模拟信号转换为数字信号后进行数字信号处理,这样做的原因主要是DSP技术成本低、效果好。

信号的分类

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2. 信号空间

2.1. 赋范线性空间

Def: 范数:从不同的角度测量信号的某个特征量

(1.1)||x||=max{|x(n)|:<n<}(1.2)||x||1=|x(n)|(1.3)||x||2=n=+|x(n)|2

显然 ||x|| 表示了信号的最大幅度,||x||1表示了信号的绝对和,||x||2表示了信号的能量
对于上述的三个信号,我们可以定义三种空间:

(1.4)L={x:||x||<}(1.5)L1={x:||x||1<}(1.6)L2={x:||x||2<}

L定义的空间表示幅度有界的信号的集和,L2表示能量有界的信号的集和,上述三种空间都是线性空间,而定义了范数的线性空间又称为赋范线性空间。

那么为何要定义赋范线性空间?
TBD

  1. 为何要定义范数?

为了描述“大小”的概念

  1. 如果要定义一个范数必须满足下面3个条件
  • 非负性:||x||0,且只有x为全0信号时,才能取到0;
  • 线性:||λx||=|λ|×||x||λR
  • 满足三角不等式:||x+y||||x||+||y||

2.2. 度量空间

如何定义两个信号的“距离”:

(2.1)d(x,y)=||x(n)y(n)||2

定义的距离需要满足如下的性质:

  1. 非负性:0d(x,y)<,且当且仅当x(t),y(t)处处相等时or信号y(t)在均方意义上收敛于x(t)时才取等号。
  2. 互易性:d(x,y)=d(y,x)
  3. 三角不等式:d(x,y)d(x,z)+d(z,y)
    定义了距离的空间被称作度量空间,显然赋范线性向量空间是度量空间。

为何要定义距离
TBD

✨内积空间

定义内积:

(2.2)x,y=n=+x(n)y(n)

若要定义内积必须满足以下性质:

(2.3)x,y×αx+βy,z=αx,z+βy,zx,x0

信号距离及范数的关系

(2.4)d2(x,y)=ab[x(t)y(t)][x(t)y(t)]dt=x22+y222Rex,y

3.离散时间系统的基本概念

一个离散时间系统, 可以抽象为一种变换, 或是一种映射, 即把输入序列:x(n)变换为输出序列y(n)

对于离散时间系统的描述:

  • 差分方程, 卷积(convolution)关系
  • 转移函数(Z 变换), 频率响应(DTFT, DFT)

FIR&IIR

有限冲激响应(finite impulse response, FIR)系统, 简称为 FIR 系统。 一阶自回归模型中由于包含了由输出到输入的反馈 , 因此其抽样响应为无限长, 我们称这一类系统为 “ 无限冲激响应”(infinite impulse response, IIR)系统, 简称为IIR 系统。

离散时间系统的性质

线性

线性的含义是指该系统的输入 、 输出之间满足叠加原理

移不变性

设一个离散时间系统对x(n)的响应是y(n) , 如果将x(n)延迟了k个抽样周期, 输出y(n)也相应地延迟了k个抽样周期, 那么, 我们说该系统具有移不变性, 即

T[x(nk)]=y(nk)

该性质的含义还可直观地解释为:对给定的输入, 系统的输出和输人施加的时间无关。即不论何时加上输入, 只要输入信号一样, 输出信号的形态就保持不变。

因果性

一个 LSI 系统, 如果它在任意时刻,例如的输出只决定于现在时刻和过去的输人, 而和将来的输人无关, 那么, 我们说该系统是因果 (causal )系统,

稳定性

一个信号x(n), 如果存在一个实数R, 使得对所有的n都满足|x(n)|R, 那么, 我们称是有界的。对一个LSI系统, 若输入x(n)是有界的, 输出:y(n)也有界, 那么该系统是稳定 (stable)的

系统稳定性判据 1

n=|h(n)|<

🎶线性卷积

信号通过一个系统,可以用卷积的形式表示

(3.1)y(n)=k=x(k)h(nk)

OR

(3.1)y(n)=k=h(k)x(nk)

矩阵型式

x(n)是一个N点的序列,h(n) 是一个 M 点的序列, 那么卷积的结果y(n)幻将是 L=N+M1点的序列。其矩阵表示形式入式(3.3)

(3.3)[y(0)y(1)y(M1)y(N1)y(L)]=[x(0)x(1)x(0)0x(2)x(1)x(0)0x(M1)x(0)0x(N1)][h(0)h(1)h(M1)]

系统的频率响应

系统的频率响应,又称系统的特征值。上式实际上是离散序列的傅里叶变换(discrete time Fourier transform, DTFT)

(3.4)H(ejω)=n=h(n)ejωn

幅度响应与相位响应

|H(ejω)|=[HR2(eiω)+H12(ejω)]1/2φ(ω)=arctanH1(ejω)HR(ejω)

奇偶特性?

转移函数

H(z)=n=h(n)zn

Summary

离散系统的研究主要包括两方面的内容,一是系统的分析, 二是系统的综合。
系统的分析是指,** 给定了一个系统(可能是h(n),或H(ejω), 或 H(z), 或一个差分方程, 或一个信号流图**, 或是在给定输入下的输出) 后, 如何去了解该系统的特性。这些特性包括系统的线性 、 移不变性 、物理可实现性及稳定性, 还包括频率特性 (是低通 、 高通 、 带通还是带阻) 、 相位特性 (相位是否具有线性相位, 是否具有最小相位)。

相关性

相关系数

ρxy=n=0x(n)y(n)[n=0x2(n)n=0y2(n)]1/2

ρxyx(n)y(n)相关系数。式中分母等于x(n)y(n))各自能量乘积的开方,

相关函数

实际工作中, 更需要研究两个波形在经历了一段时移以后的相似程度。因此,相关系数有其局限性,需要引人相关函数的概念。

(3.5)rxy(m)=n=x(n)y(n+m)

功率信号:

rxy(m)=limN12N+1n=NNx(n)y(n+m)rx(m)=limN12N+1n=NNx(n)x(n+m)

🐾相关和卷积的时域关系

rxy(m)=x(m)y(m)

自相关:

rx(m)=x(m)x(m)


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