CF506E Mr. Kitayuta's Gift 思考--zhengjun

妙妙题。

首先可以有一个 $O(kn^2)$ 的 dp，但是显然不行。

但是，发现其中的大多数转移都浪费在自环上了，所以考虑不要这个东西。

这个 dp 一共有三种转移：

1. 左右端点一起向内移动一格；

2. 左端点或右端点单独移动；

3. 左右端点都不动。

所以考虑加一维 $k$ 表示走了 $k$ 次转移 1，这样可以计算出转移 2 的次数。

最后对于转移 1 走了 $i$ 次，转移 2 走了 $j$ 次的方案数一起计算贡献：

$$g_{i,j}=\sum\limits_{x=0}^{m-i-j}26^x\sum\limits_{y=0}^{m-i-j-x}24^y\times 25^{m-i-j-x}\times \binom{k+j-1}{j-1}\times \binom{m-j-x-1}{i-1}$$

如果使用生成函数的话是可以解决的，但是想想细节太多，不想写。

不过值得注意的是，$g_{i,j}=25g_{i,j-1}-24g_{i-1,j}$。

所以换一种思路，这种东西也是可以矩阵乘法得到的，复杂度为 $O(n^4\log k)$，过不去。

但是发现其实可以把这些所有的 $i,j$ 放在同一个矩阵里面转移，所以复杂度变成 $O(n^3\log k)$，可以过去。

注意有个细节，就是如果最后长度为奇数，那么最后一步转移不能是转移 3，把贡献减去即可。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll=long long;
const int N=2e2+10,M=N*1.5,mod=1e4+7;
int n,m,f[N][N][N];
char a[N];
int cnt,p[N],q[N];
struct matrix{
	int a[M][M];
	matrix(){
		memset(a,0,sizeof a);
	}
	matrix operator * (const matrix &x)const{
		matrix b;
		for(int k=0;k<cnt;k++)
			for(int i=0;i<=k;i++)
				for(int j=k;j<cnt;j++)
					b.a[i][j]=(b.a[i][j]+a[i][k]*x.a[k][j])%mod;
		return b;
	}
}base;
struct vec{
	int a[M];
	vec(){
		memset(a,0,sizeof a);
	}
	vec operator * (const matrix &x)const{
		vec b;
		for(int i=0;i<cnt;i++)
			for(int j=i;j<cnt;j++)
				b.a[j]=(b.a[j]+a[i]*x.a[i][j])%mod;
		return b;
	}
}ans;
int main(){
	freopen(".in","r",stdin);
	//freopen(".out","w",stdout);
	scanf("%s%d",a+1,&m),n=strlen(a+1);
	bool flag=(m+n)&1;
	m=(m+n+1)/2;
	f[1][n][0]=1;
	for(int l=1;l<=n;l++){
		for(int r=n;r>=l;r--){
			for(int i=0;i<=n;i++){
				if(!f[l][r][i])continue;
				if(a[l]==a[r]){
					(f[l+1][r-1][i+1]+=f[l][r][i])%=mod;
				}
				else{
					(f[l+1][r][i]+=f[l][r][i])%=mod;
					(f[l][r-1][i]+=f[l][r][i])%=mod;
				}
			}
		}
	}
	for(int i=0;i<=n;i++)p[i]=cnt++;
	for(int i=(n+1)/2;i>=0;i--)q[i]=cnt++;
	for(int l=1;l<=n+1;l++){
		for(int r=0;r<l;r++){
			for(int i=0;i<=n;i++){
				if(!f[l][r][i])continue;
				int j=(l-1)+(n-r)-i*2;
//				fprintf(stderr,"%d %d %d\n",i,j,f[l][r][i]);
				base.a[p[j]][q[i]]=(base.a[p[j]][q[i]]+f[l][r][i])%mod;
			}
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)base.a[p[i]][p[i]]=24;
	for(int i=0;i<n;i++)base.a[p[i]][p[i+1]]=1;
	for(int i=1;i<=(n+1)/2;i++)base.a[q[i]][q[i]]=25,base.a[q[i]][q[i-1]]=1;
	base.a[q[0]][q[0]]=26;
	ans.a[p[0]]=1;
	for(int y=m+1;y;base=base*base,y>>=1)if(y&1)ans=ans*base;
	int res=ans.a[q[0]];
	if(flag){
		base=matrix(),ans=vec();
		for(int l=0;l<=n+1;l++){
			for(int r=0;r<l;r++){
				for(int i=1;i<=n;i++){
					if(!f[l][r][i]||l!=r+1)continue;
					int j=(l-1)+(n-r)-i*2;
					base.a[p[j]][q[i]]=(base.a[p[j]][q[i]]+f[l][r][i])%mod;
				}
			}
		}
		for(int i=1;i<=n;i++)base.a[p[i]][p[i]]=24;
		for(int i=0;i<n;i++)base.a[p[i]][p[i+1]]=1;
		for(int i=1;i<=(n+1)/2;i++)base.a[q[i]][q[i]]=25,base.a[q[i]][q[i-1]]=1;
		base.a[q[0]][q[0]]=26;
		ans.a[p[0]]=1;
		for(int y=m;y;base=base*base,y>>=1)if(y&1)ans=ans*base;
		(res+=mod-ans.a[q[1]])%=mod;
	}
	cout<<res;
	return 0;
}