CF512D Fox And Travelling 题解--zhengjun

计数好题。

首先对于每个连通块独立考虑，最后合并答案。

发现 点数超过 1 的强连通分量一定删不掉。

• 若连通块中存在 点数超过 1 的强连通分量
  • tarjan 缩点之后，称这些点数超过 1 的强连通分量为关键点；
  • 那么两关键点之间的点也不能删；
  • 于是对于剩下的点直接 dp 即可，由于可删的子树根一定是最后删的，无需考虑其他情况。
• 若连通块是一颗树
  • 如果还是像刚才这样找个根 dp 一遍的话，有些方案算不进去（因为根有可能不是最后删除的）；
  • 所以考虑对于每个点都作为根计算一遍答案，把所有的加在一起；
  • 那么，对于一个删 \(k\) 个点的方案，就被计算了 \(s-k\) 次，\(s\) 为连通块大小，最后除掉即可。特别地，删 \(s\) 个点的方案没有算重。

时间复杂度：\(O(n^3)\)。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll=long long;
const int N=1e2+10,mod=1e9+9;
int n,m;
vector<int>A[N],B[N];
int top,dft,sct,dfn[N],low[N],scc[N],stk[N];
int cnt[N],C[N][N],inv[N];
void init(){
	for(int i=0;i<=n;i++){
		for(int j=C[i][0]=1;j<=i;j++){
			C[i][j]=(C[i-1][j-1]+C[i-1][j])%mod;
		}
	}
	inv[1]=1;
	for(int i=2;i<=n;i++)inv[i]=1ll*inv[mod%i]*(mod-mod/i)%mod;
}
void tarjan(int u,int fa=0){
	dfn[u]=low[u]=++dft,stk[++top]=u;
	for(int v:A[u])if(v^fa){
		if(!dfn[v])tarjan(v,u),low[u]=min(low[u],low[v]);
		else if(!scc[v])low[u]=min(low[u],dfn[v]);
	}
	if(dfn[u]==low[u]){
		sct++;
		do scc[stk[top]]=sct;while(stk[top--]^u);
	}
}
struct zj{
	int n,a[N];
	zj(int _n=0):n(_n){memset(a,0,sizeof a);}
	zj operator * (const zj &x)const{
		zj b(n+x.n);
		for(int i=0;i<=n;i++)
			for(int j=0;j<=x.n;j++)
				b.a[i+j]=(b.a[i+j]+1ll*a[i]*x.a[j]%mod*C[i+j][i])%mod;
		return b;
	}
	zj operator + (const zj &x)const{
		zj b=x;
		for(int i=0;i<=n;i++)
			(b.a[i]+=a[i])%=mod;
		return b;
	}
}ans,f[N];
int rt,vis[N];
void cover(int u,int fa=0){
	if(cnt[u]>1)rt=u;
	vis[u]=1;
	for(int v:B[u])if(v^fa)cover(v,u);
}
int tag[N];
vector<int>id;
bool push(int u,int fa=0){
	int x=cnt[u]>1;
	for(int v:B[u])if(v^fa)x|=push(v,u);
	if(x)id.push_back(u);
	return tag[u]=x;
}
void dfs2(int u,int fa=0){
	f[u].a[0]=1;
	for(int v:B[u])if(v^fa&&!tag[v]){
		dfs2(v,u),f[u]=f[u]*f[v];
	}
	if(!tag[u]){
		f[u].a[f[u].n+1]=f[u].a[f[u].n];
		f[u].n++;
	}
}
void solve1(int rt){
	id.clear();
	push(rt);
	for(int u:id)dfs2(u),ans=ans*f[u];
}
void insert(int u,int fa=0){
	id.push_back(u);
	for(int v:B[u])if(v^fa)insert(v,u);
}
void solve(int u){
	rt=0,cover(u);
	if(rt)solve1(rt);
	else{
		id.clear();
		insert(u);
		zj sum(id.size());
		for(int x:id){
			dfs2(x);
			sum=sum+f[x];
			for(int y:id)f[y]=zj(0);
		}
		int len=id.size();
		for(int i=0;i<len;i++)sum.a[i]=1ll*sum.a[i]*inv[len-i]%mod;
		ans=ans*sum;
	}
}
int main(){
	freopen(".in","r",stdin);
	//freopen(".out","w",stdout);
	scanf("%d%d",&n,&m),init();
	for(int u,v;m--;){
		scanf("%d%d",&u,&v);
		A[u].push_back(v),A[v].push_back(u);
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)if(!dfn[i])tarjan(i);
	for(int u=1;u<=n;u++)for(int v:A[u]){
		if(scc[u]^scc[v]){
			B[scc[u]].push_back(scc[v]);
		}
	}
	for(int u=1;u<=n;u++)cnt[scc[u]]++;
	ans.a[0]=1;
	for(int i=1;i<=sct;i++)if(!vis[i])solve(i);
	for(int i=0;i<=n;i++)printf("%d\n",ans.a[i]);
	return 0;
}