HHHOJ #1242. 「NOIP 2023 模拟赛 20230713 D」星海巡航 总结与思考--zhengjun

随机排列的最长上升子序列长度的期望是 $O(\sqrt{n})$。

这个结论知道最好，不知道也问题不大，赛时随一个跑一下也行。

警告：

• 一直考虑正着做，产生了思维定式

• 正难则反啊，反着做发现只需考虑第一次覆盖的数就行了。

• 接下来的贪心也没想到：序列中不应该出现不在 $LIS$ 中的数（$a_n$ 除外），否则删掉他，可以使序列长度减少，跨越序列的代价就减少了。

• 然后就是 dp，转移发现上个树状数组优化即可。

时间复杂度：$O(n\sqrt{n}\log n)$，空间复杂度：$O(n\sqrt{n})$

最后讲一下卡常的点：

• 开 short

• 枚举 $LIS$ 长度时，如果当前 dp 值为 $\inf$，那么就可以 break 了（注意要在 $LIS$ > 2 时才满足这个性质）

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll=long long;
const short N=1.5e4+10,INF=N*2,M=3e2+10;
short n,a[N];
short f[N][M],g[N][M];
struct BIT1{
	short c[N];
	void init(){
		memset(c,0x7f,sizeof c);
	}
	void add(short x,short y){
		for(;x&&c[x]>y;x^=x&-x)c[x]=y;
	}
	void get(short x,short &y){
		for(;x<=n;x+=x&-x)c[x]<y&&(y=c[x]);
	}
}F[M];
struct BIT2{
	short c[N];
	void init(){
		memset(c,-0x7f,sizeof c);
	}
	void add(short x,short y){
		for(;x<=n&&c[x]<y;x+=x&-x)c[x]=y;
	}
	void get(short x,short &y){
		for(;x;x^=x&-x)c[x]>y&&(y=c[x]);
	}
}G[M];
struct opts{
	short x,y,z;
};
vector<opts>oF[N],oG[N];
short ans=0;
void init(){
	memset(f,0x7f,sizeof f),memset(g,-0x7f,sizeof g);
	memset(F,0x7f,sizeof F),memset(G,-0x7f,sizeof G);
	for(short i=1;i<=n;i++)oF[i].clear(),oG[i].clear();
}
short st;
void ins(short i){
	for(short x=st;x+1<M;x++){
		if(x>2&&f[i][x]>=INF)break;
		F[x+1].add(a[i]-1,f[i][x]);
		if(i>x)oF[i-x].push_back({short(x+1),f[i][x],a[i]});
	}
	for(short x=st;x+1<M;x++){
		if(x>2&&g[i][x]<=-INF)break;
		G[x+1].add(a[i]+1,g[i][x]);
		if(i>x)oG[i-x].push_back({short(x+1),g[i][x],a[i]});
	}
}
//bool cmp(opts x,opts y){
//	return x.x<y.x;
//}
void trs(short i){
//	sort(oF[i].begin(),oF[i].end(),cmp);
//	sort(oG[i].begin(),oG[i].end(),cmp);
	for(opts x:oF[i]){
		G[x.x].add(x.y+1,x.z);
	}
	for(opts x:oG[i]){
		F[x.x].add(x.y-1,x.z);
	}
	for(short x=st;x<M;x++){
		F[x].get(a[i],f[i][x]);
		if(x>2&&f[i][x]>=INF)break;
	}
	for(short x=st;x<M;x++){
		G[x].get(a[i],g[i][x]);
		if(x>2&&g[i][x]<=-INF)break;
	}
}
void solve1(){
	st=1;
	init();
	f[n][1]=g[n][1]=a[n];
	for(short i=n-1;i>=1;i--){
		ins(i+1);
		trs(i);
	}
	for(short i=M-1;i>=1;i--)for(short j=1;j<=n;j++)
		if(f[j][i]<INF||g[j][i]>-INF){
			ans=max(ans,i);
			return;
		}
}
void solve2(){
	st=2;
	init();
	for(short i=n-1;i>=1;i--){
		ins(i+1);
		f[i][2]=min(f[i][2],a[i]);
		g[i][2]=max(g[i][2],a[i]);
		trs(i);
	}
	for(short i=M-2;i>=1;i--)for(short j=1;j<=n;j++)
		if(f[j][i+1]<INF||g[j][i+1]>-INF){
			ans=max(ans,i);
			return;
		}
}
void read(short &x){
	char c;
	for(x=0;!isdigit(c=getchar()););
	for(;x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48),isdigit(c=getchar()););
}
int main(){
	read(n);
	for(short i=1;i<=n;i++)read(a[i]);
	solve1();
	solve2();
	cout<<ans;
	return 0;
}