HHHOJ #1237. 「NOIP 2023 模拟赛 20230712 C」论剑 总结--zhengjun

• 赛时想了 1.5h 没想出来做法，然后写了个随机化乱搞过了，有点侥幸。

思路

赛时想到：

• 答案上界为 \(n\)。

需要进阶：

• 变化超过 \(1\) 的数的个数 \(\le \lfloor\frac{n}{2}\rfloor\)。

• 所以随机一个数，这个数变化不超过 \(1\) 的概率 \(\ge\frac{1}{2}\)。

• 于是每次随机一个数，验证一下 \(a_i-1,a_i,a_i+1\) 的所有质因子即可。

• 随机个 \(30\) 次即可保证 \(1-10^{-9}\) 的正确率。

需要考虑到一次质因数分解就需要跑 \(8e4\) 次，所以能够接受的分解次数较少，尽量少分解，多验证。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll=long long;
const int N=2e5+10,M=1e6+10,V=1e6;
const ll INF=1e18;
int n;
ll a[N];
void read(ll &x){
	char c;
	for(x=0;!isdigit(c=getchar()););
	for(;x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48),isdigit(c=getchar()););
}
int cnt,vis[M],pri[M];
void init(){
	for(int i=2;i<=V;i++){
		if(!vis[i])pri[++cnt]=i;
		for(int j=1;j<=cnt&&i*pri[j]<=V;j++){
			vis[i*pri[j]]=1;
			if(i%pri[j]==0)break;
		}
	}
}
mt19937 rnd(time(0));
ll ans=INF;
set<ll>s;
void calc(ll p){
	if(s.count(p))return;
	s.insert(p);
	ll sum=0;
	for(int i=1;i<=n&&sum<ans;i++){
		if(a[i]<p)sum+=p-a[i];
		else sum+=min(a[i]%p,p-a[i]%p);
	}
	ans=min(ans,sum);
}
void divide(ll x){
	for(int i=1;i<=cnt&&1ll*pri[i]*pri[i]<=x;i++){
		if(x%pri[i])continue;
		calc(pri[i]);
		for(;x%pri[i]==0;x/=pri[i]);
	}
	if(x>1)calc(x);
}
int main(){
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)read(a[i]);
	init();
	for(int i;;){
		i=rnd()%n+1;
		if(a[i]>1)divide(a[i]-1);
		divide(a[i]),divide(a[i]+1);
		if(1.0*clock()/CLOCKS_PER_SEC>0.85)break;
	}
	cout<<ans;
	return 0;
}