网络流&二分图学习笔记

重要结论

1. 一般图中，\(|\)最大流\(|=|\)最小割\(|\)
2. 对于不存在孤立点的图，\(|\)最大匹配\(|+|\)最小边覆盖\(|=|V|\)；
3. 一般图中，\(|\)最大独立集\(|+|\)最小顶点覆盖\(|=|V|\)，最小顶点覆盖与最大独立集互补；
4. 一般图中，负点向汇点连边，正点从源点连边，则新图中，最大权闭合图权值=正点权和-最小割=正点权和-最大流；
5. dag 图中，把图中的点 \(x\) 拆成入点 \(u\) 和出点 \(u'\)，从源点 \(s\) 向入点 \(u\) 连边，从出点 \(u'\) 向汇点 \(t\) 连边，对于原图中的边 \(u\to v\)，从入点 \(u\) 向出点 \(v'\) 连边，则原图的最小路径覆盖=原图的节点数-新图的最大匹配；
6. dag 图中，若要求最小可相交路径覆盖，则先用 Floyd 跑出两两点之间的可达关系，就转化为了 5 中的最小路径覆盖问题；
7. 二分图中，\(|\)最大匹配\(|=|\)最小顶点覆盖\(|\)。

复杂度

在二分图中，dinic 的复杂度是 \(O(\sqrt{n}m)\)，在一般图中，dinic 的复杂度是 \(O(n^2m)\)。