洛谷 P1045麦森数题解--zhengjun

题目描述

形如\(2^{P}-1\)的素数称为麦森数，这时\(P\)一定也是个素数。但反过来不一定，即如果\(P\)是个素数，\(2^{P}-1\)不一定也是素数。到\(1998\)年底，人们已找到了\(37\)个麦森数。最大的一个是\(P=3021377\)，它有\(909526\)位。麦森数有许多重要应用，它与完全数密切相关。

任务：从文件中输入\(P\)（\(1000<P<3100000\)），计算\(2^{P}-1\)的位数和最后\(500\)位数字（用十进制高精度数表示）

输入格式

文件中只包含一个整数\(P\)（\(1000<P<3100000\)）

输出格式

第一行：十进制高精度数\(2^{P}-1\)的位数。

第\(2-11\)行：十进制高精度数\(2^{P}-1\)的最后\(500\)位数字。（每行输出\(50\)位，共输出\(10\)行，不足\(500\)位时高位补\(0\)）

不必验证\(2^{P}-1\)与\(P\)是否为素数。

输入输出样例

输入 #1 复制

1279

输出 #1 复制

386
00000000000000000000000000000000000000000000000000
00000000000000000000000000000000000000000000000000
00000000000000104079321946643990819252403273640855
38615262247266704805319112350403608059673360298012
23944173232418484242161395428100779138356624832346
49081399066056773207629241295093892203457731833496
61583550472959420547689811211693677147548478866962
50138443826029173234888531116082853841658502825560
46662248318909188018470682222031405210266984354887
32958028878050869736186900714720710555703168729087

思路

对于第一问，我们要求\(2^P-1\)的位数，实质上就是求\(2^P\)的位数，因为\(2^P-1\)的末尾数不可能是\(0\)，那么怎么求\(2^P\)的位数呢

因为\(10^x\)的位数就是\(floor(x+1)\)

那么，只要将底数\(2\)改成\(10\)就可以算了。

因为\(10^{log_{10}2}=2\)

所以\(2^P={10^{log_{10}2}}^P\)

那么\(2^P\)的位数就是\(log_{10}2\times P+1\)

第一问就可以解决了。

对于第二问，直接高精度+快速幂

参见快速幂--zhengjun和高精度--zhengjun

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int p;
int cnt[1001],ans[1001];
int t[1001];
void t1(){
	memset(t,0,sizeof(t));
	for(int i=1;i<=500;i++){
		for(int j=1;j<=500;j++){
			t[i+j-1]+=cnt[i]*ans[j];
		}
	}
	memset(ans,0,sizeof(ans));//清空
	for(int i=1;i<=500;i++){
		t[i+1]+=t[i]/10;
		t[i]%=10;
		ans[i]=t[i];
	}
}
void t2(){
	memset(t,0,sizeof(t));
	for(int i=1;i<=500;i++){
		for(int j=1;j<=500;j++){
			t[i+j-1]+=cnt[i]*cnt[j];
		}
	}
	memset(cnt,0,sizeof(cnt));//清空
	for(int i=1;i<=500;i++){//单独处理进位
		t[i+1]+=t[i]/10;
		t[i]%=10;
		cnt[i]=t[i];
	}
}
int main(){
	scanf("%d",&p);
	printf("%d",int(log10(2)*p+1));//第一问
	cnt[1]=2;//初值2^1
	ans[1]=1;//初值为1,因为要乘起来的
	while(p){//快速幂模板
		if(p&1)t1();
		t2();
		p>>=1;
	}
	ans[1]--;
	for(int i=500;i>=1;i--){
		if(i%50==0)printf("\n");//50位一行
		printf("%d",ans[i]);
	}
	return 0;
}

谢谢--zhengjun