洛谷P1040加分二叉树题解--zhengjun

题目描述

设一个$n$个节点的二叉树$tree$的中序遍历为（$1,2,3,…,n$），其中数字$1,2,3,…,n$为节点编号。每个节点都有一个分数（均为正整数），记第ii个节点的分数为$d_i,tree$及它的每个子树都有一个加分，任一棵子树$subtree$（也包含$tree$本身）的加分计算方法如下：

$subtree$的左子树的加分× $subtree$的右子树的加分＋$subtree$的根的分数。

若某个子树为空，规定其加分为$1$，叶子的加分就是叶节点本身的分数。不考虑它的空子树。

试求一棵符合中序遍历为（$1,2,3,…,n$）且加分最高的二叉树$tree$。要求输出；

（1）$tree$的最高加分

（2）$tree$的前序遍历

输入格式

第$1$行：$1$个整数$n(n<30)$，为节点个数。

第$2$行：$n$个用空格隔开的整数，为每个节点的分数（分数 $<100$）。

输出格式

第$1$行：$1$个整数，为最高加分（$Ans \le 4,000,000,000$）。

第$2$行：$n$个用空格隔开的整数，为该树的前序遍历。

输入输出样例

输入 #1 复制

5
5 7 1 2 10

输出 #1 复制

145
3 1 2 4 5

思路

首先，这一定可以马上看出是一道区间$dp$。

我们用f_{i,j}表示中序遍历的第i个点到第j个点组成的数最大有多少分。

那么，如何求出f_{i,j}呢，我们就要枚举第i个到第j个点中谁会是这棵子树的根节点

然后，就没有然后了。

这题还有一个东西：输出先序遍历

我们只要用f数组倒着来，看一下f_{i,j}是哪两个棵子数以及根节点构成的，然后就继续递归就完事了

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define max(x,y) ((x)>(y)?(x):(y))
#define maxn 30
using namespace std;
int n;
int a[maxn];
unsigned int f[maxn][maxn];
void print(int l,int r){
	if(l==r){//递归边界
		printf("%d ",l);
		return;
	}
	for(int i=l;i<=r;i++){//枚举根节点
		if(f[l][r]==f[l][i-1]*f[i+1][r]+a[i]){//是这两棵子数组成的
			printf("%d ",i);//先输出根节点
			print(l,i-1);//求左子树
			print(i+1,r);//求右子树
			return;
		} 
	} 
}
int main(){
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);
	for(int i=0;i<=n+1;i++){//区间放大一点,递归要用,没有的话会wa掉40分
		for(int j=0;j<=n+1;j++)
		    f[i][j]=1;
		f[i][i]=a[i];//初值为a[i]
	} 
	for(int i=n;i>=1;i--){//区间dp的要点:循环顺序
		for(int j=i+1;j<=n;j++){
			for(int k=i;k<=j;k++){//枚举根节点
				f[i][j]=max(f[i][j],f[i][k-1]*f[k+1][j]+a[k]);//更新
			}
		}
	}
	printf("%d\n",f[1][n]);
	print(1,n);//求先序遍历
	return 0;
}

谢谢--zhengjun