洛谷 P1029最大公约数和最小公倍数问题题解--zhengjun

题目描述

输入两个正整数 \(x_0, y_0\)，求出满足下列条件的 \(P, Q\) 的个数：

1. \(P,Q\) 是正整数。
2. 要求 \(P, Q\) 以 \(x_0\) 为最大公约数，以 \(y_0\) 为最小公倍数。

试求：满足条件的所有可能的 \(P, Q\) 的个数。

输入格式

一行两个正整数 \(x_0, y_0\) 。

输出格式

一行一个数，表示求出满足条件的 \(P, Q\) 的个数。

输入输出样例

输入 #1 复制

3 60

输出 #1 复制

4

说明/提示

\(P,Q\) 有 \(4\) 种：

1. \(3,60\)。
2. \(15,12\)。
3. \(12,15\)。
4. \(60,3\)。

对于 \(100\%\) 的数据，\(2 \le x_0, y_0 \le {10}^5\) 。

思路

题意应该很明确，就是找一对数，使它们的最小公约数是 \(x_0\) ，最大公倍数是 \(y_0\)
然后，还有一点，就是小学数学（我已经初一了）里面的一个公式：

\(x\times y=(\ x,y\ )\times [\ x,y\ ]\)

意思就是，两个数的最大公约数和最小公倍数的积就是这两个数的积

可以这样来理解：

这样的话

\(x\times y=\) \((\) ① \(\times\) ② \()\) \(\times\) \((\) ③ \(\times\) ② \()\)

\((\ n,m\ )\times [\ n,m\ ]=\) ② \(\times\) \((\) ① \(\times\) ② \(\times\) ③ \()\)

这样就可以理解了，所以，只要枚举一个数，另一个数就可以算出来。

然后，求最大公约数还有一种很快的方法：辗转相除法

比如说求 \(391\) 和 \(527\) 的最大公约数：
\(\ \ \ \ \ |391\ \ \ 527|\)
\(\underline{\ \ 0\ |0\ \ \ \ \ \ \ 391|\ 1\ }\)
\(\ \ \ \ \ |391\ \ \ 136|\)
\(\underline{\ \ 2\ |272\ \ \ 119|\ 1\ }\)
\(\ \ \ \ \ |119\ \ \ \ 17|\)
\(\underline{\ \ 7\ |119\ \ \ \ \ \ \ \ |\ \ \ \ }\)
\(\ \ \ \ \ |0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |\)

这样除到 \(0\) 为止

证明：

假设 \(x\) , \(y\) 的最大公约数就是 \(k\)

则 \(k|x\ mod\ y\)，问题就转换成了求 \(y\) 和 \(x\ mod\ y\) 的最大公约数

以此类推，无论怎么模，余数始终是 \(k\) 的倍数，这样一步步算下来，最后当余数为 \(0\) 时， \(x\) 就是这两个数的最大公约数

这样，所有问题就都解决了

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int m,n,ans;
int zj(int x,int y)//不要在意这个函数名
{
	int z;
    while(y!=0){//辗转相除法
    	z=x%y;
    	x=y;
    	y=z;
	}
	return x;
}
int main()
{
    cin>>n>>m;
    for(register int i=n;i<=m;i++)//因为P,Q一定比最大公约数大，比最小公倍数小
        if(n*m%i==0&&zj(i,n*m/i)==n)//符合要求
		    ans++;
    cout<<ans;
    return 0;
}

谢谢--zhengjun