洛谷P1025数的划分题解--zhengjun
题目描述
将整数\(n\)分成\(k\)份,且每份不能为空,任意两个方案不相同(不考虑顺序)。
例如:\(n=7\),\(k=3\),下面三种分法被认为是相同的。
\(1,1,5;\)
\(1,5,1;\)
\(5,1,1.\)
问有多少种不同的分法。
输入格式
\(n,k\) (\(6<n \le 200\),\(2 \le k \le 6\))
输出格式
\(1\)个整数,即不同的分法。
输入输出样例
输入 #1 复制
7 3
输出 #1 复制
4
说明/提示
四种分法为:
\(1,1,5\);
\(1,2,4\);
\(1,3,3\);
\(2,2,3\).
思路
这道题呢,我个人认为有两种做法。
一种是暴搜,另一种正解是动态规划。
暴搜
搜索我就不多说了,看代码吧
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m;
int ans;
inline void dfs(register int sum,register int t,register int l){//现在拼成了sum,用了t个数,l是前面用的最大的数
if(sum>n)
return;
if(sum==n){
if(m==t)
ans++;
return;
}
register int i;
for(i=l;i<=n-sum-m+t+1;i++)
dfs(sum+i,t+1,i);
}
int main()
{
cin>>n>>m;
dfs(0,0,1);
cout<<ans;
return 0;
}
可是这样会 \(T\) 掉 \(60\%\)
下面是优化过的 \(dfs\)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m;
int ans;
void dfs(int l,int sum,int t)
{
if(t>m)
return;
if(t==m)
{
if(sum==n)
ans++;
return;
}
for(int i=l;sum+i*(m-t)<=n;i++)
dfs(i,sum+i,t+1);
}
int main()
{
cin>>n>>m;
dfs(1,0,0);
cout<<ans;
return 0;
}
其实没差多少,就是做了一些剪枝而已,也是能过的。
动态规划
用 \(f_{i,j}\) 表示 \(i\)分成 \(j\) 部分的方案数
那么,所有
\(f_{i,j}=0 (i<j)\)
\(f_{i,j}=1 (i=j)\)
然后,当 \(i>j\) 时
一种是 \(1,···\)
\(\ \ \ \ \ \ \ \ f_{i-1,j-1}\)
另一种是没有 \(1\) 在里面(就是把每个数都减掉\(1\) 之后的方案数,总共就减了 \(j\) )
\(\ \ \ \ \ \ \ \ f_{i-j,j}\)
所以,转移方程就是:
- \(f_{i,j}=f_{i-1,j-1} (i\le j)\)
- \(f_{i,j}=f_{i-1,j-1}+f_{i-j,j} (i>j)\)
代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m;
int f[201][7];
int main()
{
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=n;i++)
f[i][1]=1;
for(int i=2;i<=n;i++)
for(int j=2;j<=m;j++)
if(i>j)
f[i][j]=f[i-1][j-1]+f[i-j][j];
else
f[i][j]=f[i-1][j-1];
cout<<f[n][m];
return 0;
}