洛谷 P1005矩阵取数题解--zhengjun

题目描述

帅帅经常跟同学玩一个矩阵取数游戏：对于一个给定的\(n \times m\)的矩阵，矩阵中的每个元素\(a_{i,j}\)​
均为非负整数。游戏规则如下：

1. 每次取数时须从每行各取走一个元素，共\(n\)个。经过\(m\)次后取完矩阵内所有元素；
2. 每次取走的各个元素只能是该元素所在行的行首或行尾；
3. 每次取数都有一个得分值，为每行取数的得分之和，每行取数的得分 = 被取走的元素值\(\times 2^i\)，其中\(i\)表示第\(i\)次取数（从\(1\)开始编号）；
4. 游戏结束总得分为\(m\)次取数得分之和。
   帅帅想请你帮忙写一个程序，对于任意矩阵，可以求出取数后的最大得分。

输入格式

输入文件包括\(n+1\)行：

第1行为两个用空格隔开的整数\(n\)和\(m\)。

第2\(\backsim n+1\)行为\(n \times m\)矩阵，其中每行有\(m\)个用单个空格隔开的非负整数。

输出格式

输出文件仅包含\(1\)行，为一个整数，即输入矩阵取数后的最大得分。

输入输出样例

输入 #1

2 3
1 2 3
3 4 2

输出 #1

82

说明/提示

\(NOIP\ 2007\) 提高第三题

数据范围：

\(60\%\)的数据满足：\(1\le n, m \le 30\)，答案不超过\(10^{16}\)

\(100\%\)的数据满足：\(1\le n, m \le 8\)，\(0 \le a_{i,j} \le 1000\)

思路

首先，可以很快判断出，这是一道区间动态规划的题，我就干脆打了个递归式的动态规划。
用\(f_{i,j}\)表示删到头是\(i\)，尾是\(j\)时最多的得分
转移公式：
\(f_{i,j}=max(f_{i+1,j}+a_i \times 2^{m+i-j-1} ,f_{i,j-1}\times 2^{m+i-j-1})\)
最后，这题还会爆\(long long\)。要么用高精度；要么用\(\_\_int128\)
所以，我用了\(\_\_int128\)，方便一点。

上代码

#include<bits/stdc++.h>
#define in(x) x=read()
#define MAXN 81
#define bll __int128
using namespace std;
inline void read(register int &x)
{
	x=0;
	register char c=getchar();
	while(c<'0'||c>'9'){c=getchar();}
	while(c>='0'&&c<='9'){x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48);c=getchar();}
}
int n,m;
int num[MAXN];
bll ans,p[MAXN],f[MAXN][MAXN];
bll dp(int l,int r)
{
    if(f[l][r]!=-1)return f[l][r];
    if(r-l>=1)f[l][r]=max(num[l]*p[m-r+l]+dp(l+1,r),dp(l,r-1)+num[r]*p[m-r+l]);//因为是倒退，所以是p[m-r+l]
    else f[l][r]=num[l]*p[m-r+l];
    return f[l][r];
}
void print(bll x)
{
    if(!x)return;
    print(x/10);
    putchar(x%10+'0');
}
int main()
{
    read(n);read(m);
    p[0]=1;
    for(int i=1;i<=m;i++)p[i]=p[i-1]*2;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=m;j++)read(num[j]);
        memset(f,-1,sizeof(f));
        ans+=dp(1,m);
    }
    if(!ans)printf("0")//特判0
    else print(ans);
    return 0;
}

谢谢--zhengjun