H. Sort the Strings Revision (笛卡尔树)

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题目🔗

• 题意：
  一个s串满足s[i] = i % 10,给出p,d数组的构造方法，每次将s串p[i]位换成d[i], 总共得到n + 1个串，对它们进行排名。第i次操作后的排名为r[i];
  输出 \((\sum_{i=0}^{n}(r_{i}*10000019^{i}))\%(1e9+7)\)

• 题解：

  • 很关键的一点是p[]是一个排列，所以对s串每一位只修改一次。我们从低位到高位去修改，如果修改p[i]位要变成的数小于该位原来的数(p[i]%10>d[i])，那么修改p[i]之后位得到的的串字典序一定小于修改p[i]前得到的字符串。所以可以用这一次修改将字符串排名分成两类，一类占字典序大的部分，一类占字典序小的部分。再继续分治对每个部分用其P[i]最小的位进行划分。一直划分下去就能得到所有的排名。

  • 关键是当划分成两部分后怎么快速确定这个处理区间的最小值位置，RMQ问题。这里可以用O(n)的笛卡尔树来处理。笛卡尔树根节点是整个区间最小值的位置。左子节点是最小位置左边区间的最小值的位置，右子节点是最小值右边区间最小值所在位置。

  • 分治时，如果 \(p[i]\%10>d[i]​\) , 其中i是当前区间最小值所在位置，那么其左边的区间操作形成的字符串rk+右边个数(占rk高位)。右边不影响(占rk低位)

     dfs(ls[index], l, index, rank + (p[index] % 10 > d[index]) * (r - index));
    

  • 如果 \(p[i]\%10<d[i]​\) 那i右边区间操作形成的字符串rk+左边个数(占rk高位)，左边不受影响(占rk低位)

    dfs(rs[index], index + 1, r, rank + (p[index] % 10 < d[index]) * (index - l + 1));
    

  • 如果 \(p[i]\%10=d[i]\) 时，这一位操作不会影响任何其他位的rk, 一个技巧，让p[i]=INF, 这样这一位就在迪卡尔树的叶子节点上，最后处理时直接确定rk就行。同时如果处理到边界，及叶子节点，说明这个操作处理这个区间的所能处理的最高位，能影响它的低位都处理了，根据前面的rk累计可以直接确定其rk。

    if(p[index] == INF || l >= r) {
       for(int i = l; i <= r; ++ i) rk[i] = rank + (i - l);
       return;
    }
    

• 代码：

  #include<bits/stdc++.h>
  using namespace std;
  typedef long long ll;
  const int N = 2e6+10;
  const ll mod = 1e9 + 7;
  const ll INF = 1 << 30;
  //
  
  int T, n;
  ll p[N], d[N];
  int rk[N];
  int ls[N], rs[N];
  int st[N], top;
  
  void Build() 
  {
  	st[0]=0;
  	for(int i=0;i<n;i++){
          int k=st[0];
          while(k>0&&p[st[k]]>p[i]) k--;
          if(k) rs[st[k]]=i;
          if(k<st[0]) ls[i]=st[k+1];
          st[++k]=i; st[0]=k;
      }
  }
  
  void dfs(int index, int l, int r, int rank){
      if(p[index] == INF || l >= r) {
          for(int i = l; i <= r; ++ i) rk[i] = rank + (i - l);
          return;
      }
      dfs(ls[index], l, index, rank + (p[index] % 10 > d[index]) * (r - index));
      dfs(rs[index], index + 1, r, rank + (p[index] % 10 < d[index]) * (index - l + 1));
  }
  
  void init(){
      scanf("%d",&n);
      ll pseed, pa, pb, pmod;
      ll dseed, da, db, dmod;
      scanf("%lld%lld%lld%lld",&pseed, &pa, &pb, &pmod);
      scanf("%lld%lld%lld%lld",&dseed, &da, &db, &dmod);
  
      for(int i = 0; i < n; ++ i) p[i] = i;
      for(int i = 1; i < n; ++ i){
          swap(p[pseed % (i + 1)], p[i]);
          pseed = (1ll * pseed * pa % pmod + 1ll * pb) % pmod;
      }
      for(int i = 0; i < n; ++ i){
          d[i] = dseed % 10;
          dseed = (1ll * dseed * da % dmod + 1ll * db) % dmod;
          if(p[i] % 10 == d[i]) p[i] = INF;
      }   
  
      for(int i = 0; i <= n; ++ i) rk[i] = 0;
  }
  
  int main()
  {
      scanf("%d",&T);
      while(T --){
          init();
          Build();
          dfs(st[1], 0, n, 0);
          
          ll res = 0, temp = 1;
          for(int i = 0; i <= n; ++ i){
              res = (res + 1ll * rk[i] * temp % mod) % mod;
              temp = temp * 10000019ll % mod;
          }
          printf("%lld\n",res);
      }
      return 0;
  }