0x46蓝书习题：普通平衡树

Treap/平衡二叉树

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蓝书习题：普通平衡树

这道题是一道平衡树模板题，可以用多种解法，这里用最简单的Treap，下面简单说一下各种操作的思路

• 添加：
  当要添加一个值时，先判断所要加入的以p为根节点的子树是否为空，为空添加新的节点:New(val)。 当然平衡树，当加入新节点后，子节点dat变得大于a[p].dat时，要旋转，左旋右旋见代码，好理解。

  void Insert(int &p,int val){
  	if(!p){
  		p=New(val);
  		return;
  	}
  	if(val==a[p].val){
  		a[p].cnt++,Updata(p);
  		return;
  	}
  	if(val<a[p].val){
  		Insert(a[p].l,val);
  		if(a[p].dat<a[a[p].l].dat) zig(p);
  	}
  	else{
  		Insert(a[p].r,val);
  		if(a[p].dat<a[a[p].r].dat) zag(p);
  	}
  	Updata(p);
  }
  

• 删除 ：
  平衡树删除要容易，就是将要删除的节点不停旋转到叶子上，再删掉。见代码

  void Remove(int &p,int val){
  	if(p==0) return;
  	if(val==a[p].val){
  		if(a[p].cnt>1){		//val这个值有重复，直接减少cnt即可
  			a[p].cnt--,Updata(p);
  			return;
  		}
  		if(a[p].l||a[p].r){		//p有子树，不是叶子
  			if(a[p].r==0||a[a[p].l].dat > a[a[p].r].dat) zig(p),Remove(a[p].r,val);		//左子树长于右子树，向右旋
  			else zag(p),Remove(a[p].l,val);
  			Updata(p);
  		}
  		else p=0;				//p是叶子直接删除
  		return;
  	}
  	if(val<a[p].val) Remove(a[p].l,val);
  	else Remove(a[p].r,val);
  	Updata(p);
  
  }
  

• 输出一个值的排名：
  根据平衡二叉树的性质，最左边的值最小，那么如果我知道p的左子树siz，那么p的排名就是 a[a[p].l].siz+1,根据这一点。如果val<a[p].val,说明val在左子树中，递归处理左子树。当val>a[p].val,时，递归右子树时返回值要加上p左子树的siz和p的重复次数cnt这是由于递归右子树返回值，表示的是val在右子树中的排名,但是易知，val大于左子树和p的val。

  int GetRankByVal(int p,int val){
  	if(p==0) return 0;
  	if(val==a[p].val) return a[a[p].l].siz+1;
  	else if(val<a[p].val) return GetRankByVal(a[p].l,val);
  	return GetRankByVal(a[p].r,val)+a[a[p].l].siz+a[p].cnt;
  }
  
  

• 输出某排名的值：
  这个看代码吧。

  int GetvalByRank(int p,int rak){
  	if(p==0) return INF;
  	if(a[a[p].l].siz>=rak) return GetvalByRank(a[p].l,rak);	
  	if(a[a[p].l].siz+a[p].cnt>=rak) return a[p].val;		
  	return GetvalByRank(a[p].r,rak-a[a[p].l].siz-a[p].cnt);	
  }
  //2.左子树siz>rak,说明排名为rak的节点在左子树中
  //3.左子树的siz+p点的cnt>rank，而且左子树的siz<rak，说明排名为rak的就是p点的val
  //4.其他就，递归处理右子树,注意要减去左子树siz和p点的重复值
  

• 找前驱/后继：
  前驱是比val小的最大值 ，后继是比val大的最小值**

  int GetPre(int val){
  	int ans=1;
  	int p=root;
  	while(p){
  		if(a[p].val==val){
  			if(a[p].l>0){
  				p=a[p].l;
  				while(a[p].r>0) p=a[p].r;
  				ans=p;
  			}
  			break;
  		}
  		if(a[p].val<val&&a[p].val>a[ans].val) ans=p;
  		p= val<a[p].val ? a[p].l : a[p].r;
  	}
  	return a[ans].val;
  }
  

  int GetNext(int val){
  	int ans=2;
  	int p=root;
  	while(p){
  		if(val==a[p].val){
  			if(a[p].r){
  				p=a[p].r;
  				while(a[p].l>0)p=a[p].l;
  				ans=p;
  			}
  			break;
  		}
  		if(a[p].val>val&&a[p].val<a[ans].val) ans=p;
  		p= val<a[p].val ? a[p].l : a[p].r;
  	}
  	return a[ans].val;
  }
  

完整代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int MA=1e5+5;
const int INF=0x3f3f3f3f;

struct Treap
{
	int l,r;
	int val,dat;	//val:权值，dat：随机值，用来判断左右旋
	int cnt,siz;	//cnt:记录这个权值的重复次数，siz：子树大小
}a[MA];
int tot,n,root;

int New(int val){
	a[++tot].val=val;
	a[tot].siz=a[tot].cnt=1;
	a[tot].dat=rand();
	return tot;
}

void Updata(int p){
	a[p].siz=a[a[p].l].siz+a[a[p].r].siz+a[p].cnt;
}

void Build(){
	New(-INF),New(INF);
	root=1,a[1].r=2;
	Updata(root);
}

void zig(int &p){
	int q=a[p].l;
	a[p].l=a[q].r,a[q].r=p;
	p=q;
	Updata(a[p].r);
	Updata(p);
}

void zag(int &p){
	int q=a[p].r;
	a[p].r=a[q].l,a[q].l=p;
	p=q;
	Updata(a[p].l);
	Updata(p);
}

void Insert(int &p,int val){
	if(!p){
		p=New(val);
		return;
	}
	if(val==a[p].val){
		a[p].cnt++,Updata(p);
		return;
	}
	if(val<a[p].val){
		Insert(a[p].l,val);
		if(a[p].dat<a[a[p].l].dat) zig(p);
	}
	else{
		Insert(a[p].r,val);
		if(a[p].dat<a[a[p].r].dat) zag(p);
	}
	Updata(p);
}

void Remove(int &p,int val){
	if(p==0) return;
	if(val==a[p].val){
		if(a[p].cnt>1){		//val这个值有重复，直接减少cnt即可
			a[p].cnt--,Updata(p);
			return;
		}
		if(a[p].l||a[p].r){		//p有子树，不是叶子
			if(a[p].r==0||a[a[p].l].dat > a[a[p].r].dat) zig(p),Remove(a[p].r,val);		//左子树长于右子树，向右旋
			else zag(p),Remove(a[p].l,val);
			Updata(p);
		}
		else p=0;				//p是叶子直接删除
		return;
	}
	if(val<a[p].val) Remove(a[p].l,val);
	else Remove(a[p].r,val);
	Updata(p);

}

int GetRankByVal(int p,int val){
	if(p==0) return 0;
	if(val==a[p].val) return a[a[p].l].siz+1;
	else if(val<a[p].val) return GetRankByVal(a[p].l,val);
	return GetRankByVal(a[p].r,val)+a[a[p].l].siz+a[p].cnt;
}

int GetvalByRank(int p,int rak){
	if(p==0) return INF;
	if(a[a[p].l].siz>=rak) return GetvalByRank(a[p].l,rak);	//左子树siz>rak,说明排名为rak的节点在左子树中
	if(a[a[p].l].siz+a[p].cnt>=rak) return a[p].val;		//左子树的siz+p点的cnt>rank，而且左子树的siz<rak，说明排名为rak的就是p点的val
	return GetvalByRank(a[p].r,rak-a[a[p].l].siz-a[p].cnt);	//其他就，递归处理右子树,注意要减去左子树siz和p点的重复值
}

int GetPre(int val){
	int ans=1;
	int p=root;
	while(p){		//子树为处理完
		if(a[p].val==val){		//找到val的节点
			if(a[p].l>0){		//如果p有左子树，那就让p->左子树,然后一直向右子树移动，最后得到的p就是小于val的最大值
				p=a[p].l;
				while(a[p].r>0) p=a[p].r;
				ans=p;
			}
			break;
		}
		if(a[p].val<val&&a[p].val>a[ans].val) ans=p;	//用p的值更新ans,找小于val的最大值
		p= val<a[p].val ? a[p].l : a[p].r;				//递归合适的子树
	}
	return a[ans].val;
}

int GetNext(int val){
	int ans=2;
	int p=root;
	while(p){
		if(val==a[p].val){
			if(a[p].r){
				p=a[p].r;
				while(a[p].l>0)p=a[p].l;
				ans=p;
			}
			break;
		}
		if(a[p].val>val&&a[p].val<a[ans].val) ans=p;
		p= val<a[p].val ? a[p].l : a[p].r;
	}
	return a[ans].val;
}


int main()
{
	Build();
	scanf("%d",&n);
	while(n--){
		int opt,x;
		scanf("%d%d",&opt,&x);
		if(opt==1) Insert(root,x);
		else if(opt==2) Remove(root,x);
		else if(opt==3)	printf("%d\n",GetRankByVal(root,x)-1);
		else if(opt==4)	printf("%d\n",GetvalByRank(root,x+1));
		else if(opt==5)	printf("%d\n",GetPre(x));
		else if(opt==6)	printf("%d\n",GetNext(x));
	}
	return 0;
}