Educational Codeforces Round 77

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C.Infinite Fence

• 题意：现有 $ 10^{100}$ 块木板需要涂漆，第 \(x\) 块如果 \(x\) 是 \(r\) 的倍数，则涂上红色，是 \(b\) 的倍数，则涂蓝色。如果既是 \(r\) 又是 \(b\) 的倍数，那么两种颜色都可以涂；如果连续有 \(k​\) 块板的颜色是一样的，则输出REBEL，否则输出OBEY。问是否能避免被处死.

• 分析：

• 若规定 \(r<b\) ，一开始就很简单的以为只要 \(b \ge k \times r​\) 就可以。主要是错误地理解所有间隔都是固定的，等于开头的间隔，其实间隔是会变化的。

• 对于这种有一定数学规律的题，不要一直去想具体的例子。

• 抽象出 \(nb........(n+1)b\) 的一段，为满足题意，它们中间 \(b-1\) 的距离最多只能放 \(k-1\) 个红色木板。故设第k个红木板相对 \(nb\) 的距离为 \(d_{k}​\)

  \[d_{k}>b-1 \\ \ \\ t+(k-1) \times r >b-1\\ \ \\k>\frac{(b-1)-t}{r}+1 \]

  所以只要满足(3)式就输出OBEY 。

• 求t：t是第一个红木板相对 \(nb\) 的距离。有如下关系

  \[n_{1}b+t=n_{2}r \]

  当t最小时，\(d_{k}\) 也最小，是最坏的情况。根据exgcd,当 \(gcd(r,b) | t\) 时有解，t最小值为 \(gcd(r,b)\)

• 代码：

  #include<bits/stdc++.h>
  using namespace std;
  typedef long long ll;
  const int MA=1e5+5;
  
  int main()
  {
      int T;
      scanf("%d",&T);
      while(T--){
          ll r,b,k;
          scanf("%lld%lld%lld",&r,&b,&k);
          if(r>b) swap(r,b);
          ll g=__gcd(r,b);
          ll ans=((b-1)-g)/r+1;
          if(k<=ans) printf("REBEL\n");
          else printf("OBEY\n");
      }
      return 0;
  }