《具体数学》习题

第一章 递归问题

1. 推理有误，当 \(n = 2\) 时不存在标号为 \(2 \sim n - 1\) 的马。
2. 令 \(A_{i}\) 表示将 \(i\) 个圆盘从 \(A\) 柱移至 \(B\) 所需的最少步数。显然有 \(A_{1} = 1\)。对于任意的 \(i(i \geqslant 2)\)，若想要使最大的圆盘从 \(A\) 柱移至 \(B\) 柱，需先将其余的 \(i - 1\) 个圆盘移动至 \(B\) 柱，然后将第 \(i\) 个圆盘移动至中间柱子，再将其余 \(i - 1\) 个圆盘移回 \(A\) 柱，将第 \(i\) 个圆盘移动至 \(B\) 柱，最后再将剩下的 \(i - 1\) 个圆盘移动至 \(B\) 柱，所以 \(A_{i} = 3A_{i - 1} + 2\)。
3. 类似 (2.) 的思路，先将最底层圆盘移动至目标位置，同时保持剩下的圆盘的相对顺序，再移动次大的圆盘。
4. 不存在。因为确定每一个圆盘的位置时都移动了最多的步数 \(2T_{i - 1} + 1\)（已是最坏情况），若目标位置不同只可能步数更少而不可能增多。
5. 不可能。考虑再当前的维恩图上再添加一个圆，此圆必须与八个部分都有交集并且不为互不包含关系，而 \(A \cap B, b \cap C, c \cap A\) 的部分将 \(A \cap B \cap C\) 的部分完全「围住」，若新圆与这些部分有交集则必定包含 \(A \cap B \cap C\)。
6. 令 \(B_{i}\) 表示由 \(i\) 条直线围成的「有界」区域的最大数量，显然 \(B_{1} = 0, B_{2} = 0, B_{3} = 1\)，对于 \(i(i \geqslant 4)\)，新加入的直线最多同时与原来的所有直线相交，这 \(i\) 条直线最多划分出 \(i + 1\) 个「无界」区域，而两端的「无界」区域无法划分出有界区域，所以最多能多出来 \(i - 2\) 个「有界」区域，所以 \(B_{i} = B_{i - 1} + i - 2\)。
7. 此推理过程只证明了 \(H(2n + 1) = 2H(n) - 2(n \geqslant 1)\)，而没有关于 \(H(1)\) 的证明，故对于 \(H(3), H(7), H(15), \cdots\) 都没有证明，错误。

\[\begin{cases} Q_{0} = \alpha\\ Q_{1} = \beta\\ Q_{2} = (1 + Q_{1}) / Q_{0} = (1 + \beta) / \alpha\\ Q_{3} = (1 + Q_{2}) / Q_{1} = (1 + \alpha + \beta) / (\alpha\beta)\\ Q_{4} = (1 + Q_{3}) / Q_{2} = (1 + \alpha) / \beta\\ Q_{5} = (1 + Q_{4}) / Q_{3} = \alpha\\ Q_{6} = (1 + Q_{5}) / Q_{4} = \beta\\ \end{cases} \]

对于 \(Q_{i}(i \geqslant 7)\)，因为 \(Q_{i}\) 只与 \(Q_{i - 1}\) 和 \(Q_{i - 2}\) 有关，且 \(Q_{5} = Q_{0} = \alpha, Q_{6} = Q_{1} = \beta\) 的情况是已知的，所以 \(Q_{i}\) 每 \(5\) 个为一循环节。

a. 若 \(a_{1} = a_{2} = \cdots = a_{n - 1} = 0\)，显然 \(P(n - 1)\) 成立，否则

\[\begin{aligned} \prod\limits_{i = 1}^{n}x_{i} \leqslant \left(\dfrac{\sum_{i = 1}^{n}x_{i}}{n}\right)^{n}\\ \dfrac{\sum_{i = 1}^{n - 1}x_{i}}{n - 1}\prod\limits_{i = 1}^{n - 1}x_{i} \leqslant \left(\dfrac{\sum_{i = 1}^{n - 1}x_{i}}{n - 1}\right)^{n}\\ \prod\limits_{i = 1}^{n - 1}x_{i} \leqslant \left(\dfrac{\sum_{i = 1}^{n - 1}x_{i}}{n - 1}\right)^{n - 1}\\ \end{aligned} \]

所以 \(P(n)\) 蕴含 \(P(n - 1)\)。

b. 令 \(A = \dfrac{\sum_{i = 1}^{n}x_{i}}{n}, B = \dfrac{\sum_{i = 1}^{n}x_{i + n}}{n}\)，因为 \(P(n)\) 有：

\[\begin{cases} A^{n} \geqslant \prod_{i = 1}^{n}x_{i}\\ B^{n} \geqslant \prod_{i = 1}^{n}x_{i + n} \end{cases} \]

因为 \(P(2)\) 有：

\[\left(\dfrac{A + B}{2}\right)^{2} \geqslant AB \]

所以：

\[\left(\dfrac{\sum_{i = 1}^{2n}x_{i}}{2n}\right)^{2n} = \left(\dfrac{A + B}{2}\right)^{2n} \geqslant (AB)^{n} \geqslant \prod_{i = 1}^{2n}x_{i} \]

c. \(P(1), P(2)\) 显然成立，任何 \(n(n \geqslant 3)\) 都可以表示为 \(n = 2^{a} - b(b < 2^{a})\) 的形式，故有 \(P(2) \to P(4) \to \cdots \to P(2^{a}) \to P(2^{a} - 1) \to P(2^{a} - 2) \to \cdots \to P(n)\)。

10. \(Q_{i}\) 的意义为「\(i\) 个圆盘跨过 \(1\) 个柱子的最少步数」，\(R_{i}\) 的意义为 「\(i\) 个圆盘跨过 \(2\) 个柱子的最少步数」。好了剩下的 yy 不出来了，看答案也看不懂，只有一句「首先证明，当 \(n > 0\) 时有 \(R_{n} = R_{n - 1} + 1 + Q_{n - 1} + 1 + R_{n - 1}\)。」。