Placing Rooks 题解

看了半天题始终看不明白为什么 3 3 的样例输出 0，后来才发现车不能穿过别的车/lh

教练布置的二项式反演练习题，做完之后发现原来这个东西叫斯特林数？

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先特判 $k = 0$ 或 $k \geqslant n$ 的情况，分别输出 $n!$ 和 $0$，一个是全排列一个是无解。

每一行或者每一列肯定都有一个车，并且如果有车能互相攻击到，那么要么都是攻击到同一列的车，要么都是攻击到同一行的车，这一点可以随便举几个例子感受一下。

具体证明的话：假设存在三个车，它们的坐标分别为 $(x_0, y_0)$，$(x_1, y_1)$，$(x_1, y_0)$，现在有两行/两列被覆盖到了，所以可以直接不考虑这两行/两列，把剩下的格子看成大小 $(n - 2) \times (n - 2)$ 的棋盘，我们要用 $n - 3$ 个车覆盖 $(n - 2) \times (n - 2)$ 的棋盘，这是不可能的。

有更多的车的情况也肯定不可能了。

所以要么每一行有且仅有一个车，某些车处于同一列从而产生互相攻击的关系；要么每一列有且仅有一个车，某些车处于同一行从而产生互相攻击的关系。

下面讨论每一行有且仅有一个车的情况，因为棋盘是正方形的所以旋转一下就可以得到列的情况，最终答案乘 $2$ 即可。

令 $f(k)$ 表示钦定/至少有 $k$ 对可以互相攻击的车，令 $g(k)$ 表示恰好有 $k$ 对可以互相攻击的车。答案即为 $g(k)$。

由二项式反演（或者广义容斥原理）可以得到：

$$ f(k) = \sum\limits_{i = k}^{n}\binom{i}{k}g(i) \Leftrightarrow g(k) = \sum\limits_{i = k}^{n}(-1)^{i - k}\binom{i}{k}f(i) $$

考虑如何计算 $f(i)$。

因为我们讨论的是每一行都有车的情况，所以车能互相攻击到一定是因为在同一列里。如果同一列有 $cnt$ 个车，那么会贡献 $cnt - 1$ 对能够互相攻击的车，车的攻击判定是不能穿过别的车的。

所以如果有 $i$ 对能够互相攻击到的车，那么肯定只有 $n - i$ 列上会有车。可以先选出是哪些列可以放车，再给每一行上的车分配它所在的列。所以 $f(i) = \binom{n}{n - i}(n - i)^{n}$。

直接计算 $g(k)$ 即可，时间复杂度 $\mathcal{O}(n \log n)$。

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod = 998244353;
ll n, k, ans, fct[200005], inv[200005];
ll ksm(ll x, ll y) {
    ll ret = 1;
    while(y) {
        if(y & 1) ret = ret * x % mod;
        x = x * x % mod;
        y >>= 1;
    }
    return ret;
}
ll c(ll n, ll m) {
    return fct[n] * inv[m] % mod * inv[n - m] % mod;
}
int gsm(int x) {return ((~x & 1) << 1) - 1;}
int main() {
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0), cout.tie(0);
    fct[0] = 1;
    for(int i = 1; i <= 200000; ++i) fct[i] = fct[i - 1] * i % mod;
    inv[200000] = ksm(fct[200000], mod - 2);
    for(int i = 200000; i >= 1; --i) inv[i - 1] = inv[i] * i % mod;
    cin >> n >> k;
    if(k >= n) {
        cout << "0";
        return 0;
    }
    if(!k) {
        cout << fct[n];
        return 0;
    }
    for(int i = k; i <= n; ++i) {
        ans += gsm(i - k) * c(i, k) * c(n, n - i) % mod * ksm(n - i, n) % mod;
    }
    cout << (ans * 2 % mod + mod) % mod;
    return 0;
}