【动态规划】背包问题（一） 01背包 完全背包 多重背包
一、01背包
有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的价格（即体积，下同）是w[i]，价值是c[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。
这是最基础的背包问题，总的来说就是：选还是不选，这是个问题<(￣ˇ￣)/
相当于用f[i][j]表示前i个背包装入容量为v的背包中所可以获得的最大价值。
对于一个物品，只有两种情况
情况一: 第i件不放进去，这时所得价值为:f[i-1][v]
情况二: 第i件放进去，这时所得价值为：f[i-1][v-c[i]]+w[i]
状态转移方程为：f[i][v] = max(f[i-1][v], f[i-1][v-w[i]]+c[i])
一道裸01背包题↓_↓
采药
辰辰是个天资聪颖的孩子，他的梦想是成为世界上最伟大的医师。为此，他想拜附近最有威望的医师为师。医师为了判断他的资质，给他出了一个难题。医师把他带到一个到处都是草药的山洞里对他说：“孩子，这个山洞里有一些不同的草药，采每一株都需要一些时间，每一株也有它自身的价值。我会给你一段时间，在这段时间里，你可以采到一些草药。如果你是一个聪明的孩子，你应该可以让采到的草药的总价值最大。”
如果你是辰辰，你能完成这个任务吗？
输入第一行有两个整数T（1<=T<=1000）和M（1<=M<=100），用一个空格隔开，T代表总共能够用来采药的时间，M代表山洞里的草药的数目。接下来的M行每行包括两个在1到100之间（包括1和100）的整数，分别表示采摘某株草药的时间和这株草药的价值。
输出包括一行，这一行只包含一个整数，表示在规定的时间内，可以采到的草药的最大总价值。
70 3
71 100
69 1
1 2
3
【数据规模】
对于30%的数据，M<=10；
对于全部的数据，M<=100。
#include<stdio.h> #include<algorithm> using namespace std; int f[1001][1001]; int main() { int T, n,c[10001], v[10001]; scanf("%d%d", &T, &n); for(int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d%d", &v[i], &c[i]); for(int i = 1; i <= n; i++) { for(int j = 0; j <= T; j++) f[i][j] = f[i-1][j]; for(int j = 0; j+v[i] <= T; j++) f[i][j] = max(f[i][j] + c[i], f[i-1][j+v[i]]); } int ans = 0; for(int i = 0; i <= T; i++) ans = max(ans, f[n][i]); printf("%d", ans); return 0; }
还可以用一维数组这样写↓_↓
设 f[v]表示重量不超过v公斤的最大价值， 则f[v]=max(f[v]，f[v-w[i]]+c[i]) ，当v>=w[i]，1<=i<=n 。
#include<stdio.h> #include<algorithm> using namespace std; const int maxm = 2001, maxn = 101; int m, n; int w[maxn], c[maxn]; int f[maxm]; int main() { scanf("%d%d",&m, &n); //背包容量m和物品数量n for (int i=1; i <= n; i++) scanf("%d%d",&w[i],&c[i]); //每个物品的重量和价值 for (int i=1; i <= n; i++) //设f(v)表示重量不超过v公斤的最大价值 for (int v = m; v >= w[i]; v--) //注意是逆序 f[v] = max(f[v-w[i]]+c[i], f[v]); printf("%d\n",f[m]); // f(m)为最优解 return 0; }
二、完全背包
有N种物品和一个容量为V的背包，每种物品都有无限件可用。第i种物品的费用是w[i]，价值是c[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。
完全背包和01背包十分相像， 区别就是完全背包物品有无限件。由之前的选或者不选转变成了选或者不选，选几件。√
和01背包一样，我们可以写出状态转移方程：f[i][v]=max(f[i-1][v-k*c[i]]+k*w[i]|0<=k*c[i]<=v)
还有一个简单的优化↓_↓
当一个物品的价值小于另一个物品的价值，但是价格高于另一个物品，我们就可以不去考虑这个物品。即若两件物品i、j满足c[i]<=c[j]且w[i]>=w[j]，则将物品j去掉，不用考虑。我们为什么要买一个又贵又难吃的东西呢(╯▽╰)
#include<stdio.h> #include<algorithm> using namespace std; const int maxm=2001,maxn=101; int n,m,v,i; int c[maxn],w[maxn]; int f[maxm]; int main() { scanf("%d%d",&m,&n); //背包容量m和物品数量n for(i=1;i<=n;i++) scanf("%d%d",&w[i],&c[i]); for(i=1;i<=n;i++) for(v=w[i]; v<=m; v++) //设 f[v]表示重量不超过v公斤的最大价值 //这里是v++ 顺序 区别于01背包 f[v]=max(f[v-w[i]]+c[i], f[v]); printf("%d\n", f[m]); // f[m]为最优解 return 0; }
三、多重背包
有N种物品和一个容量为V的背包。第i种物品最多有n[i]件可用，每件费用是w[i]，价值是c[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。
这里又多了一个限制条件，每个物品规定了可用的次数。
同理，我们可以得出状态转移方程：f[i][v]=max(f[i-1][v-k*w[i]]+ k*c[i]|0<=k<=n[i])
一道例题↓_↓
庆功会
【问题描述】
为了庆贺班级在校运动会上取得全校第一名成绩，班主任决定开一场庆功会，为此拨款购买奖品犒劳运动员。期望拨款金额能购买最大价值的奖品，可以补充他们的精力和体力。
【输入格式】
第一行二个数n(n<=500)，m(m<=6000)，其中n代表希望购买的奖品的种数，m表示拨款金额。 接下来n行，每行3个数，v、w、s，分别表示第I种奖品的价格、价值（价格与价值是不同的概念）和购买的数量（买0件到s件均可），其中v<=100，w<=1000，s<=10。
【输出格式】
第一行：一个数，表示此次购买能获得的最大的价值（注意！不是价格）。
【输入样例】
5 1000
80 20 4
40 50 9
30 50 7
40 30 6
20 20 1
【输出样例】
1040
先给出一个未优化的朴素算法
#include<stdio.h> #include<algorithm> using namespace std; int v[6002], w[6002], s[6002]; int f[6002]; int n, m; int main() { scanf("%d%d",&n,&m); for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d%d%d",&v[i],&w[i],&s[i]); for (int i = 1; i <= n; i++) for (int j = m; j >= 0; j--) for (int k = 0; k <= s[i]; k++) { if (j-k*v[i]<0) break; f[j] = max(f[j],f[j-k*v[i]]+k*w[i]); } printf("%d\n",f[m]); return 0; }
进行二进制优化，转换为01背包（拆分物品）
#include<stdio.h> #include<algorithm> using namespace std; int v[10001],w[10001]; int f[6001]; int n,m,n1; int main() { scanf("%d%d",&n,&m); for(int i=1;i<=n;i++) { int x,y,s,t=1; scanf("%d%d%d",&x,&y,&s); while (s>=t) { v[++n1]=x*t; w[n1]=y*t; s-=t; t*=2; } v[++n1]=x*s; w[n1]=y*s; //把s以2的指数分堆：1，2，4，…，2^(k-1)，s-2^k+1, } for(int i=1;i<=n1;i++) for(int j=m;j>=v[i];j--) f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]); printf("%d\n",f[m]); return 0; }
以上就是三种基本的背包问题(*^__^*)
p.s.这里初学咸鱼，如有错误欢迎各位大佬们指出~
