一粒夸克

摘要： 定义 对于 $n$ 阶矩阵，若存在非零列向量 $x$ 和数 $\lambda$ 满足 $Ax=\lambda x$，则称 $\lambda$ 和 $x$ 为一组对应的特征值和特征向量。 在确定了特征值之后，可以得到对应的无穷多个解。 $$ \ $$ 求解特征值和特征向量 求解特征值和特征向量： 容易 阅读全文

摘要： 对于同一个向量，选取的基底不同，其所对应的坐标值就不同。 例如： 向量 $a$ 在空间中的位置是固定的，如果使用第一组基底 $(e_1,e_2)=(\begin{bmatrix}1\0 \end{bmatrix},\begin{bmatrix}0\1 \end{bmatrix})$。 向量 $a$ 阅读全文

摘要： 毛毛虫剖分 一种由重链剖分推广而成的树上结点重标号方法，支持 修改/查询 一只毛毛虫的信息，并且可以对毛毛虫的身体和足分别 修改/查询 不同信息 。 可以用来解决一些大力树剖也可以解决的问题。 一些定义： 毛毛虫：一条树上的链和与这条链邻接的所有结点构成的集合； 虫身：毛毛虫的链部分； 虫足：毛毛虫 阅读全文

摘要： Cayley 定理 节点个数为 $n$ 的无根标号树的个数为 $n^{n−2}$ 。 这个结论在很多计数类题目中出现，要证明它首先需要了解 $\text{Prufer}$ 序列的相关内容。接下来给出证明。 证明： 每一棵树都可以转换为一个 $\text{Prufer}$ 序列。 根据定义，每一个节点 阅读全文

摘要： 本质还是高斯消元，使其成为上三角矩阵。但是 \(k\) 不一定是质数。 但我们不需要保证已有数字不改变，只要维护的是一个上三角矩阵就行。所以我们可以利用更相减损让其中一个向量的最高位 \(= 0\) 。然后插入即可。正确性的证明同二进制线性基。 然后来到了查询环节。在二进制下，异或两次就等于没异或， 阅读全文

摘要： 竞赛图（有向完全图） 竞赛图也叫有向完全图。每对顶点之间都有一条边相连的有向图称为竞赛图。 竞赛图的一些简单的性质： 竞赛图没有自环，没有二元环；若竞赛图存在环，则一定存在三元环。（如果存在一个环大于三元，那么一定存在另一个三元的小环。） 任意竞赛图都有哈密顿路径（经过每个点一次的路径，不要求回到出 阅读全文

摘要： CF1458C Latin Square 将每个数表示成三元组 $(i,j,a[i][j])$ ，UDLR 相当于给前两维加一或减一，IC 相当于交换某两维。 操作是对整体进行操作的，那么直接记录操作对每个位置的影响即可。 点击查看代码 #include<bits/stdc++.h> using n 阅读全文

摘要： [POI2011]OKR-Periodicity 考虑递归地构造，设 $\text{solve(s)}$ 表示字典序最小的，$\text{border}$ 集合和 $S$ 的 $\text{border}$ 集合相等的字符串。 设 $S$ 的最长 $\text{border}$ 是 $t$，我们分下 阅读全文

摘要： CodeChef - BTREE Union on T 首先可以很自然地想到把虚树建出来然后在上面搞。 我们做两遍 \(\text{dp}\)，把每个点的 \(r_i\) 更新成从这个点出来能覆盖的最远距离和从其他点出来经过这个点后能够覆盖的最远距离的最大值。 这样我们保证了对于一条边 \((u,v 阅读全文

摘要： 拉格朗日插值法 众所周知，\(n + 1\) 个 \(x\) 坐标不同的点可以确定唯一的最高为 \(n\) 次的多项式。在算法竞赛中，我们常常会碰到一类题目，题目中直接或间接的给出了 \(n+1\) 个点，让我们求由这些点构成的多项式在某一位置的取值。 一个最显然的思路就是直接高斯消元求出多项式的系 阅读全文