12 2021 档案
摘要：Credit: Entropy Increaser. 接下来我们介绍一种由 Entropy Increaser (Baitian Li) 等人发明的一种针对多项式和形式幂级数的线性求和算法。这个算法推导简单，并且它统一了很多关于多项式的求和的问题中 ad hoc 的推导，是一个值得一学的新技术。 算
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摘要：问题引入. 给定 \(n\), \(k\)，我们想计算 \[ S(n,k)= \sum_{i=0}^{n-1} i^k. \] 进一步地，我们已经知道 \(S(n,k)\) 是一个关于 \(n\) 的 \(k+1\) 次多项式，现在我们想求出它的系数。 推导. 对 \(i^k\) 的求和比较困难，但
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摘要：我们熟知一个度数为 \(D\) 的多项式有三种经典表示： 系数表示，也就是 \(P(x) = \sum_{i=0}^D\limits c_i x^i\)。 点值表示，也即给出 \(P\) 在 \(D+1\) 个不同的位置的取值 \((x_0, P(x_0)), \dots, (x_D, P(x_D)
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摘要：生成函数简介 一般生成函数 对于一个数列 \((f_i)_{i\ge 0}\) 其中 \(f_i\) 表示规模为 \(i\) 的特定组合对象的个数 定义 \((f_i)_i\) 的一般型生成函数为 \[ F(x) = \sum_{i=0}^{\infty} f_i x^i. \] 我们把所有满足 \
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摘要：一般提到动态树，我们会不约而同的想到 LCT，这算是比较通用，实用，能力较为广泛的一种写法了。当然，掌握 LCT 就需要熟悉掌握 Splay 和各种操作和知识。ETT（中文常用称呼：欧拉游览树）是一种及其睿智且暴力，可以用暴力数据结构维护的一种除了能胜任普通动态树的 Link & Cut 操作还可以
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摘要：【模板】动态树（Link Cut Tree） Link-cut-tree是一种维护动态森林的数据结构，在需要动态加边/删边的时候就需要LCT来维护。 Link-cut-tree的核心是轻重链划分，每条重链用一颗splay来维护。 点击查看代码 #include<bits/stdc++.h> usin
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摘要：CF1089I Interval-Free Permutations 求长度为 \(n\) 的、且不包含一个连续子段的排列数量。 用析合树的思路，将问题转化为计算根的儿子不足 \(n\) 个的析合树数量。 设长度为 \(n\) 的、且不包含一个连续子段的排列数量是 \(A_n\) 先讨论根是合点的情
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摘要：[APIO2014]连珠线 考虑一组以 \(x\) 为中点的蓝边，有两种可能： \(son[x]->x->fa[x]\) \(son[x]->x->son[x]\) 其中若有两个儿子间连边的点不存在祖先关系，那么它们就无法被连接到一起 因此所有的儿子间连边的点一定在一条链上 因此，若以链的最低点为根
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摘要：\(\) 计数题 BZOJ 4360 括号序列再战猪猪侠 区间 \(dp\) ，枚举区间内第一个左括号匹配的位置，前缀和差分 \(O(1)\) 判断合法性 点击查看代码 #include<bits stdc++.h> using namespace std; int T; int n,m; long
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摘要：定义：\({N\choose K}=\frac{N!}{K!(N-K)!}\) 为从 N 个物品中取出 K 个的方案数。 常用公式 \(\sum_{i=0}^N \binom{N}{i} = 2^N\). \(\sum_{i=0}^{N} \binom{N}{i}(-1)^i = 0\). \(\s
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摘要：基于拉格朗日插值的多项式求和 拉格朗日插值. 假设 \(P\) 是一个度数为 \(D\) 的多项式。如果我们知道 \(P\) 在 \(D+1\) 个不同位置的取值 \((x_1,P(x_1)),\dots, (x_D,P(x_D))\)，那么我们可以唯一地把 \(P\) 写为 \[ P(x) = \
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摘要：清华集训 主旋律 给定一个 \(N\) 个点的有向图，问这个图有多少个强连通子图。保证 \(N\le 15\)。 (也可以尝试去做完全图的情况：\(N\) 个点的强连通图个数。) 解法 （图里可能有 \(N^2\) 条边） 简单问题：给定一个有向图，问有多少个子图是 DAG。 DP: \(f[S]\
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摘要：位运算卷积： 定义位运算卷积： 第 \(i\) 项和第 \(j\) 项的乘积贡献到第 \(i⊕j\) 项。其中 \(⊕\) 是某种位运算，即： \(S[k]=\sum_{i⊕j=k}A[i]⋅B[j]\) 记作： \(S=A*B\) 构造 \(FWT\) 变换： 尝试把位运算卷积转化成点积。 设 \
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摘要：期望的线性性： $$E(x+y)=E(x)+E(y)$$ 证明： $$E(x+y)=\sum_i \sum_j(i+j)*P(i=x,j=y)$$ $$=\sum_i\sum_jiP(i=x,j=y)+\sum_i\sum_jjP(i=x,j=y)$$ $$=\sum_iiP(i=x)+\sum_j
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摘要：狄利克雷卷积与数论函数： 狄利克雷卷积写作： \[f(x)*g(x)=(f*g)(x) \]定义： \[(f*g)(x)=\sum_{d|n}^nf(d)*g(n/d) \]也可以写作： \[(f*g)(n)=\sum_{x*y=n}^nf(x)*g(y) \]狄利克雷卷积满足交换律与结合律： \[
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摘要：第一反演公式（定理）： 如果多项式 \(f\)，\(g\) 有如下关系： \[\begin{cases} f[n]=\sum_{i=0}^na_{n,i}*g[i]\\ \\ g[n]=\sum_{i=0}^nb_{n,i}*f[i]\\ \end{cases} \]且 \(a_{i,i}!=0\)
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摘要：简单数列 设： \(h_0,h_1,h_2,h_3...,h_n,...\) 表示一个数列，其中 \(h_n\) 叫做数列的一般项或通项 我们称 \(s_i= \sum_{k=0}^n \limits h_k\) 为 \(h\) 数列的部分和 这些部分和形成一个新的数列 \(s_0,s_1,..s_
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摘要：题目大意： 给定一棵树，求出一对起点和终点，使得从起点随机游走，到终点停下的期望步数最多，输出这个期望步数 solution： 其实不难 树形 \(dp\) 首先，另 \(f[x]\) 表示从 \(x\) 点走到他父亲的期望步数 它有可能先走到某个儿子里，然后再回来，也有可能直接走到它的父亲 因此：
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