关于不定积分

不定积分

原函数：

若 $F,f$ 在区间 $I$ 上均有定义，且 $F'=f$ 。

则称 $F$ 为 $f$ 在区间 $I$ 上的一个原函数。

常用公式：

$$\int x^{\alpha} dx =\dfrac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C \ \ ， \int \dfrac{1}{x} dx =\ln|x|+C\\ \ \\ \ \int e^x dx =e^x+C\ \ ，\int a^x dx =\dfrac{a^x}{\ln a}+C\\ \ \\ \ \int \dfrac{1}{1+x^2} dx =\arctan x+C\\ \ \\ \ \int \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx =\arcsin x+C\\ \ \\ \ \int \dfrac{1}{\sqrt{x^2-a^2}} dx =\ln|x+\sqrt{x^2-a^2}|+C\\ \ \\ \ \int \dfrac{1}{\sqrt{x^2+a^2}} dx =\ln|x+\sqrt{x^2+a^2}|+C$$

三角函数公式：

换元积分

设函数 $f$ 在区间 $I$ 上有定义，$\varphi(x)$ 在区间 $J$ 上可导，且 $\varphi(J)\subseteq I$ 。

第一换元积分法：

若 $\int f(x)dx=F(x)+C$ 在 $I$ 上存在，则 $\int f(\varphi(t))\varphi'(t)dt$ 在 $J$ 上也存在，且：

$$\int f(\varphi(t))\varphi'(t)dt=F(\varphi(t))+C$$

第二换元积分法：

若 $x=\varphi(t)$ 存在反函数 $t=\varphi^{-1}(x)$ ，且 $\int f(\varphi(t))\varphi'(t)dt=G(t)+C$ ，则：

$$\int f(x)dx=G(\varphi^{-1}(x))+C$$

分部积分法

若 $u(x)$ 、$v(x)$ 可导，且 $\int u'(x)v(x)dx$ 存在，那么 $\int u(x)v'(x)dx$ ，且：

$$\int u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)-\int u'(x)v(x)dx$$

常用于：

1. 对数、指数、三角函数、反三角函数等与多项式的积。

2. 三角函数与指数函数之积。

顺序：

三角函数、指数函数、幂函数、对数函数、反三角函数

例题：

（1）

$$\int \dfrac{dx}{a^2+x^2}\\ =\dfrac{1}{a^2}\int \dfrac{dx}{1+\frac{x^2}{a^2}}\\ =\dfrac{1}{a}\int \dfrac{d\dfrac{x}{a}}{1+\dfrac{x^2}{a^2}}\\ $$

而 $\int \dfrac{1}{1+x^2}=\arctan x$，则：

$$\int \dfrac{dx}{a^2+x^2}\\ =\dfrac{1}{a}\int \dfrac{d\dfrac{x}{a}}{1+\dfrac{x^2}{a^2}}\\ =\dfrac{1}{a}\arctan \dfrac{x}{a}$$

（2）

$$\int \dfrac{\ln(1+\dfrac{1}{x})}{x(x+1)}dx\\ =\int \dfrac{1}{x^2}\dfrac{\ln(1+\dfrac{1}{x})}{(1+\dfrac{1}{x})}dx\\ $$

而 $d(1+\dfrac{1}{x})=-\dfrac{1}{x^2}dx$，即 $dx=-x^2d(1+\dfrac{1}{x})$，则：

$$\int \dfrac{\ln(1+\dfrac{1}{x})}{x(x+1)}dx\\ =\int \dfrac{1}{x^2}\dfrac{\ln(1+\dfrac{1}{x})}{(1+\dfrac{1}{x})}dx\\ =\int -\dfrac{x^2}{x^2}\dfrac{\ln(1+\dfrac{1}{x})}{(1+\dfrac{1}{x})}d(1+\dfrac{1}{x})\\ =-\int \dfrac{\ln(1+\dfrac{1}{x})}{(1+\dfrac{1}{x})}d(1+\dfrac{1}{x})$$

令 $t=1+\dfrac{1}{x}$ ，即：

$$\int \dfrac{\ln(t)}{t}dt\\ =\dfrac{1}{2}\ln^2(t)\\ =\dfrac{1}{2}\ln^2(1+\dfrac{1}{x})$$