数学分析：导数与微分

导数：

定义：

设 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处的邻域有定义，若 \(\large\lim_{x\to x_0}\limits\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\) 存在，则称 \(f(x)\)

费马定理：

函数 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处有定义，且可导，若函数在 \(x_0\) 处为极值点，则必有 \(f'(x)=0\) 。

指数函数的导数：

\[\begin{aligned} (a^x)'&=\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{a^{x+\Delta x}-a^x}{\Delta x}\\ &=a^x\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{a^{\Delta x}-1}{\Delta x}\\ &=a^x\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{e^{\Delta x\ln a}-1}{\Delta x}\\ \end{aligned}\]

由于：

\[\lim_{x\to 0} e^x=\lim_{x\to 0} (x+1) \]

所以：

\[\begin{aligned} (a^x)'&=a^x\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{e^{\Delta x\ln a}-1}{\Delta x}\\ &=a^x\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{\Delta x\ln a+1-1}{\Delta x}\\ &=a^x\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{\Delta x\ln a}{\Delta x}\\ &=a^x\ln a\\ \end{aligned}\]

三角函数的导数：

\[\csc x=\dfrac{1}{\sin x}\ 、\ \sec=\dfrac{1}{\cos x} \]

\[\]

\[(\sin x)'=\cos x \ 、\ (\cos x)'=-\sin x \]

\[\]

\[(\tan x)'=\sec^2 x \ 、\ (\cot x)'=-\csc^2 x \]

含参数方程的求导：

\[y=f(x) \ 且\ \begin{cases}x=x(t)\\y=y(t)\end{cases} \]

\[f'(x)=\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}}=\dfrac{y'(t)}{x'(t)} \]

必须保证 \(x'(t)^2+y'(t)^2\neq 0\) 。

例题：

证明螺旋线 \(\rho=e^{\dfrac{\theta}{2}}\) 所有点的切线方向与径向夹角为一个常值。

莱布尼茨公式：

若函数 \(u(x)\)、\(v(x)\) 均 \(n\) 阶可导，则 \(u(x)\times v(x)\) 也 \(n\) 阶可导。

微分：

写法：

\[\dfrac{dy}{dx}=A\ 或\ dy=Adx \]

\[\dfrac{d^ny}{dx^n}=f^{(n)}(x)\ 或\ d^ny=f^{(n)}(x)dx^{n} \]

一阶微分形式不变性（高阶微分形式不变性不成立）

一元函数中，可微和可导等价，多元函数中不等价。

微分中值定理：

罗尔中值定理：

若 \(f(a)=f(b)\)，\(f(x)\) 在区间 \([a,b]\) 上连续可导，则 \(\exist \varepsilon\in(a,b)\)，使得 \(f'(\varepsilon)=0\) 。

拉格朗日中值定理：

只要 \(f(x)\) 在区间 \([a,b]\) 上连续可导，则 \(\exist \varepsilon\in(a,b)\)，使得 \(f'(\varepsilon)=\dfrac{f(a)-f(b)}{a-b}\) 。

可导函数介值定理：

若 \(f(x)\) 在 \((a,b)\) 上可导，令 \(f'(a^+)<f'(b^-)\) ，则 \(\forall \ \varepsilon\in(f'(a^+),f'(b^-))\) ，一定 \(\exists x_0\in(a,b)\) ，使得 \(f(x_0)=\varepsilon\) 。

柯西中值定理：（可以证明洛必达法则）

对于任意 \(f(x),g(x)\) 在 \((a,b)\) 上可导，在 \([a,b]\) 上连续，则 \(\exists \ \varepsilon \in(a,b)\) ，使 \(\dfrac{f(\varepsilon)}{g(\varepsilon)}=\dfrac{f(a)-f(b)}{g(a)-g(b)}\) 。

泰勒公式：

若 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处有 \(n\) 阶导数，则：

\[f(x)=\sum_{i=0}^n\dfrac{f^{(i)}(x_0)}{i!}(x-x_0)^i+o((x-x_0)^n) \]

如果存在 \(n+1\) 阶导数，则：

\[o((x-x_0)^n)=\dfrac{f^{(n+1)}(\varepsilon)}{(n+1)!}x^{n+1} ，x_0<\varepsilon<x \]

例题：

证明 \(e\) 是无理数。

导数的极值：

充要条件 1：

\(f(x)\) 在 \(x_0\) 处连续，在 \(U(x,\delta)\) 上可导。

• 若 \(x\in(x_0-\delta,x_0)\) 时，\(f'(x)<0\) ， \(x\in(x_0，x_0+\delta)\) 时，\(f'(x)>0\) ，\(f(x_0)\) 取极小值。

• 若 \(x\in(x_0-\delta,x_0)\) 时，\(f'(x)>0\) ， \(x\in(x_0，x_0+\delta)\) 时，\(f'(x)<0\) ，\(f(x_0)\) 取极大值。

充要条件 2：

\(f(x)\) 在 \(x_0\) 处二阶可导，且 \(f'(x_0)=0\)，\(f''(x_0)\neq 0\) 。

• 若 \(f''(x)<0\) ，\(f(x_0)\) 取极大值。

• 若 \(f''(x)>0\) ，\(f(x_0)\) 取极小值。