数学分析：数列极限与函数极限

实数系的连续性

有理数：

稠密性： 任意一段长度大于 \(0\) 的线段上，总是存在无穷多个有理点。

无理数： 无限不循环小数。

实数系：

实数集：

\[R=\{x\ |\ x\ 是有理数或无理数\} \]

\(R\)：实数连续统

数轴： 代表全体实数的坐标轴。

最大数与最小数：可能存在，可能不存在。

上确界与下确界：一定存在。

上确界：$\sup $

下确界：\(\inf\)

数列的极限

定义：

对于数列 \(\{a_n\}\) ，常数 \(a\) ，如果 \(\forall \varepsilon\) ，总是 \(\exists N\)，\(\forall n>N\)，\(|a_n-a|<\varepsilon\) 。

则称 \(\{a_n\}\) 收敛于 \(a\)，\(a\) 为数列 \(\{a_n\}\) 的极限。

记作：

\[\large \lim_{n\to \infty}a_n=a \]

PS： 此定义为 \(\varepsilon - N\) 语言的第一次出现，这是所有分析类语言的基础。

收敛数列：

1. 唯一性

收敛数列的极限必唯一（反证法）

2. 有界性

收敛数列必有界，若 \(\{a_n\}\) 收敛，令 \(\varepsilon=1\) 。

那么，令 \(m=\min(a_1,...,a_{N_1},a-1)\)，\(m=\max(a_1,...,a_{N_1},a+1)\) 。

则 \(\forall n\)，\(m\leq a_n\leq M\) 。

3. 保序性

设序列 \(\{x_n\}\)、\(\{y_n\}\) 均收敛，若 \(\lim_{n\to \infty}\limits x_n=a\)，\(\lim_{n\to \infty}\limits y_n=b\)，且 \(a<b\) 。

则 \(\exists N\)，当 \(n>N\) 时，均有 \(x_n<y_n\) 。

4. 迫敛性（夹逼性）

若序列 \(\{x_n\}\)、\(\{y_n\}\)、\(\{z_n\}\) 从某项开始都有 \(x_n<y_n<z_n\) ，且 \(\lim_{n\to \infty}\limits x_n=\lim_{n\to \infty}\limits z_n=a\)，则 \(\lim_{n\to \infty}\limits y_n=a\) 。

5. 任何子列均收敛，当且仅当数列本身收敛。

数列极限的证明

定义证明极限：

需要熟练使用不等式。

单调有界定理：

实数系中，有界的单调数列必有极限。

例题：

证明 \(\lim_{n\to \infty}\limits (1+\dfrac{1}{n})^n\) 存在。

\(\text{Stolz}\) 定理：

设 \(\{y_n\}\) 是严格单调递增的正无穷大量，且：

\[\lim_{x\to \infty}\dfrac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}=a \]

则：

\[\lim_{x\to \infty}\dfrac{x_n}{y_n}=a \]

致密性定理：

任何有界数列必定有收敛子列。

可用闭区间套定理证明。

柯西收敛准则：

如果数列 \(\{x_n\}\) 具有以下特性：

对于任意给定的 \(\varepsilon>0\)，存在正整数 \(N\) ，使得当 \(n,m>N\) 时，有：

\[|x_n-x_m|<\varepsilon \]

则数列 \(\{x_n\}\) 收敛。

证明过程可由致密性定理保证其存在一收敛子列，找出该子列的极限后，可以发现数列中其它数必然收敛于这个极限。

函数的极限

定义：

对于函数 \(f(x)\) ，常数 \(A\) ，如果 \(\forall \varepsilon\) ，总是 \(\exists \delta\) 。

使得 \(\forall x\in (x_0-\delta,x_0)\cup(x_0,x_0+\delta)\) 时，\(|f(x)-A|<\varepsilon\) 。

则称 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处极限存在，且极限为 \(A\) ，记作：

\[\large \lim_{x\to x_0}f(x)=A \]

PS： 此定义为 \(\varepsilon - \delta\) 语言下的极限定义。

注意：\(f(x_0)\) 的取值不影响，\(f(x)\) 在 \(x_0\) 处的极限。

左极限与右极限：

函数在某点极限存在，当且仅当左右极限分别存在且相等。

极限存在条件—— \(\text{Heine}\) 定理：

\[\large \lim_{x\to x_0}f(x)存在\\ \large \Updownarrow\\ \large \forall \{x_n\}\to x_0(x_n\neq x_0)，\lim_{n\to \infty}f(x_n)存在且相等 \]

常见用处： 证明 \(\large \lim_{x\to x_0}\limits f(x)\) 不存在。

例题：

证明 \(\lim_{x\to 0}\limits \sin \dfrac 1 x\) 不存在。

夹逼定理求极限：

例题：

证明 \(\lim_{x\to 0}\limits \dfrac {\sin x} x =1\) 。

证明 \(\lim_{x\to 0}\limits(1+\dfrac 1 x)^x=e\) 。

无穷大和无穷小

无穷大不是一个数字（除非是在实变函数中），而是一种趋势。

无界不一定是无穷大。

概念： 高阶、同阶、等价无穷小。

函数的连续性

定义：

\(f(x)\) 在 \(x_0\) 处连续当且仅当 \(\lim_{x\to x_0}\limits f(x)\) 存在，且 \(\lim_{x\to x_0}\limits f(x)\) 。

如果 \(f(x)\) 在区间上每个点都连续，我们就说 \(f(x)\) 是区间上的连续函数。

PS： 类似于左极限和右极限，可以定义左连续和右连续。

不连续点

1. 可去间断点：

\[f(x_0)\neq \lim_{x\to x_0}\limits f(x) \\ (\lim_{x\to x_0}\limits f(x) 必须存在) \]

2. 跳跃间断点：

\[f(x_0)= \lim_{x\to x_0^-}\limits f(x) 或 f(x_0)= \lim_{x\to x_0^+}\limits f(x) \\ (\lim_{x\to x_0^-}\limits f(x)、\lim_{x\to x_0^-}\limits f(x) 存在且不相等) \]

3. 本质间断点：

至少一边极限不存在。

例题：

证明黎曼函数 \(R(x)\) 在有理点连续，无理点不连续。

一致连续：

定义： 闭区间上的连续函数是一致连续函数 。

定理：

\(f(x)\) 在区间（可开可闭）上一致连续的充要条件是，对于区间上任意数列 \(\{x_n\}\) 、\(\{y_n\}\) 若 \(\lim_{n\to \infty}\limits |x_n-y_n|=0\)，则 \(\lim_{n\to \infty}\limits |f(x_n)-f(y_n)|=0\) 。

闭区间一只连续 \(\to\) 开区间连续。

例题：

证明 \(\lim_{x\to 0}\limits \sin \dfrac 1 x\) 在 \((0,1)\) 上不一致连续。

初等函数连续性：

已知 \(f(x)\) 在区间 \([a,b]\) 上连续且满足 \(f([a,b])\subseteq [a,b]\) 。

证明 \(\exists \ x_0\) ，使得 \(f(x_0)=x_0\) 。

所有初等函数在其（连续的一段）定义域内都是连续的。

连续函数的复合函数也是连续的。