关于除数求和

除数求和函数 \(\text{Divisor Summatory Function}\) 定义为

\[T(n)=\sum_{i=1}^n\left\lfloor\dfrac ni\right\rfloor \]

非常简单吧 。

后面讨论的均为多组询问 。

记号约定：\((f(n))−O(g(n))\) 表示 \(O(f(n))\) 复杂度预处理，\(O(g(n))\) 复杂度询问 。

Algorithm -1：暴力，\(O(1)−O(n)\) .

Algorithm 0：每次整除分块，\(O(1)−O(√n)\) .

Algorithm 1：\(O(n)\) 递推，\(O(n)−O(1)\) .

考虑推下式子：

\[\sum\limits_{i=0}^{n}x\bmod i=nx-\sum\limits_{i=1}^{n}i\left\lfloor\frac{x}{i}\right\rfloor \]

接下来考虑差分，已知 \(T(x-1)\) 求 \(T(x)\)：

\[T(x-1)-T(x)=\sum\limits_{i=1}^{n}i\left(\left\lfloor\frac{x}{i}\right\rfloor-\left\lfloor\frac{x-1}{i}\right\rfloor\right)=\sum\limits_{i=1}^{n}i[i\mid x]=\sigma(x) \]

所以

\[T(x)=\sum\limits_{i=0}^{n}x\bmod i=nx-\sum\limits_{i=1}^{x}\sigma(i) \]

线性筛出 \(σ(i)\) 的前缀和即可。

Algorithm 2

另一方面，这个是反比例函数下整点个数，根据双曲线对称性，有

\[T(n)=2\sum_{i=1}^{\sqrt n}\left\lfloor\dfrac ni\right\rfloor-\left\lfloor\sqrt n\right\rfloor^2 \]

不过并不能加快复杂度，只能让实现更容易一点 .

其实有魔法可以做到 $O(n^{1/3}) - O(1)$，见 link .

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高维情况可以看上面的论文 .

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