随笔分类 - 线性代数
摘要：代数余子式 给定 $n$ 阶方阵 $A=(a_{ij})$，定义 $a_{ij}$ 的余子式 $M_{ij}$ 为 $A$ 划去第 $i$ 行第 $j$ 列后的行列式，$a_{ij}$ 的代数余子式 $A_{ij}=(−1)^{i+j}M_{ij}$ 。 代数余子式可以用于行列式的求值，比如按第 $
阅读全文
摘要：预备知识 向量空间： 定义 $(F, V, +, •)$ 为向量空间（也称线性空间），其中 $F$ 为域，$V$ 为集合，$V$ 中元素称为向量，$+$ 为向量加法，$•$ 为数乘运算，且运算满足 $8$ 条公理。 线性无关： 向量空间中，对于 $V$ 上一组 $n$ 个向量 $x_i$ ，若存在不
阅读全文
摘要：定义 对于 $n$ 阶矩阵，若存在非零列向量 $x$ 和数 $\lambda$ 满足 $Ax=\lambda x$，则称 $\lambda$ 和 $x$ 为一组对应的特征值和特征向量。 在确定了特征值之后，可以得到对应的无穷多个解。 $$ \ $$ 求解特征值和特征向量 求解特征值和特征向量： 容易
阅读全文
摘要：对于同一个向量，选取的基底不同，其所对应的坐标值就不同。 例如： 向量 $a$ 在空间中的位置是固定的，如果使用第一组基底 $(e_1,e_2)=(\begin{bmatrix}1\0 \end{bmatrix},\begin{bmatrix}0\1 \end{bmatrix})$。 向量 $a$
阅读全文
摘要：Cayley 定理 节点个数为 $n$ 的无根标号树的个数为 $n^{n−2}$ 。 这个结论在很多计数类题目中出现，要证明它首先需要了解 $\text{Prufer}$ 序列的相关内容。接下来给出证明。 证明： 每一棵树都可以转换为一个 $\text{Prufer}$ 序列。 根据定义，每一个节点
阅读全文
摘要：本质还是高斯消元，使其成为上三角矩阵。但是 \(k\) 不一定是质数。 但我们不需要保证已有数字不改变，只要维护的是一个上三角矩阵就行。所以我们可以利用更相减损让其中一个向量的最高位 \(= 0\) 。然后插入即可。正确性的证明同二进制线性基。 然后来到了查询环节。在二进制下，异或两次就等于没异或，
阅读全文
摘要：首先，讲下什么是线性规划。具有如下形式： 即为一个线性规划问题（它是标准形式，也就是只要能化成这种形式的都是线性规划问题）。 现在我们讲讲什么是对偶问题。 对偶问题的标准形式： 原问题： 对于一个矩阵 \(A\) ，列向量 \(c,b\) ，求： \[ \max c^Tx\\ \\ s.t. \be
阅读全文