随笔分类 - 组合计数
摘要：#3523. 「IOI2021」分糖果 直接处理不太好做，发现我们只需求最终结果，考虑将序列当作询问做扫描线，线段树维护与当前位置有关的操作。 维护每个区间内变化量前缀和的最大最小值，发现如果一个区间最大值与最小值只差超过了 $c[i]$ ，那么在这个区间内至少会碰到一次顶部或底部，触碰边界前的操作
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摘要：定义 连续随机型变量的期望问题指的是： 对于一个连续型随机变量 $X$ ，以及一个函数 $f(x)=P[x==X]$ ，求 $E(X)$ 的问题。 解法： 若 $X$ 是一个离散型的随机变量，可能值为 $x_1,x_2…$，对应的概率分别为 $p_1,p_2…$，那么它的期望值就是 $E(x)=∑_
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摘要：伯努利数求自然数幂前缀和 $$ n^k=[x^k]\frac{1}{1-nx}=k![x^k]e^{nx} $$ $\text{EGF}$（指数型生成函数）形式更为常用，不如说 $\text{OGF}$（普通型生成函数）几乎没用。 例： $$ \sum_{i=0}^{n}i^k=k![x^k]\su
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摘要：Cayley 定理 节点个数为 $n$ 的无根标号树的个数为 $n^{n−2}$ 。 这个结论在很多计数类题目中出现，要证明它首先需要了解 $\text{Prufer}$ 序列的相关内容。接下来给出证明。 证明： 每一棵树都可以转换为一个 $\text{Prufer}$ 序列。 根据定义，每一个节点
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摘要：拉格朗日插值法 众所周知，\(n + 1\) 个 \(x\) 坐标不同的点可以确定唯一的最高为 \(n\) 次的多项式。在算法竞赛中，我们常常会碰到一类题目，题目中直接或间接的给出了 \(n+1\) 个点，让我们求由这些点构成的多项式在某一位置的取值。 一个最显然的思路就是直接高斯消元求出多项式的系
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摘要：【NOI2014】随机数生成器 CF923E Perpetual Subtraction 特征值，特征向量，特征多项式 一个线性变换 \(A\)，如果存在一个非零向量 \(v\) 使得 \(A\) 作用于 \(v\) 后 \(v\) 只收到了拉伸，那么 \(v\) 就是一个 \(A\) 的特征向量。
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摘要：CF286E Ladies' Shop 容易想到一个背包做法，复杂度但显然过不去。 发现如果集合不合法，当且仅当有一些数能凑出集合中没有的数。 进而可以递归地证明，无论是判断是否合法还是检查某个元素是否可以被其它元素拼出，只需要考虑两个元素的情况即可。 因此只需要将所有元素放进一个桶中，自己和自己卷
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摘要：先上单位根反演的公式： \[ [k|n]=\frac {1}{k}∑_{i=0}^{k−1}\limits ω^{ni}_k \] 我们来考虑证明这个公式，分类讨论： 若 \(k|n\)，那么： \[ \frac{1}{k}∑_{i=0}^{k−1}\limits ω^{ni}_{k}=\frac{
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摘要：第一类斯特林数 定义： $\Large {n \brack m} $ 表示 \(n\) 个元素分成 \(m\) 个环的方案数 显然： \[ {n\brack m}={n-1\brack m−1}+(n−1)∗{n-1\brack m} \] **理解：**考虑从 \(n−1\) 个元素推过来，如果两
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摘要：群 群的定义 在数学中，群是由一种集合以及一个二元运算所组成的，符合**“群公理”**的代数结构。 一个群是一个集合 \(G\) 加上对 \(G\) 的二元运算。二元运算用 \(\cdot\) 表示，它结合了任意两个元素 \(a\) 和 \(b\) 形成了一个属于 \(G\) 的元素，记为 \(a\
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摘要：鞅 鞅最早指一种赌博策略，后被引进到了数学中，用来指一类随机过程。它有许多种不同程度的推广，这里义离散时间鞅为满足以下条件的随机过程（依赖于时间的随机变量序列） $X_0,X_1,X_2,…$ 。 $∀n∈N,E\ [X_n]<∞$。 $∀n∈N+,E\ [X_{n+1}∣X_n,X_{n−1},…
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摘要：定义 概率，就是某个随机事件出现的可能性大小。 若 \(X\) 是一个离散型的随机变量，可能值为 \(x_1,x_2…\)，对应的概率分别为 \(p_1,p_2…\)，那么它的期望值为 \(E(x)=\sum_i \limits p_ix_i\)。 期望的线性性 \(E(x+y)=E(x)+E(y)
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摘要：定义： 在数学中，杨表 \(\text{(Young table})\) 又称杨氏矩阵，最初用于对称群的表示理论。 杨图由有限个相邻的方格排列而成，其中，各横行的左边对齐，长度从上到下递增。分为英式画法和法式画法，这里只讨论标准杨表。 标准杨表：在杨图的 \(n\) 个方格中任意填入 \(1\) 到
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摘要：Credit: Entropy Increaser. 接下来我们介绍一种由 Entropy Increaser (Baitian Li) 等人发明的一种针对多项式和形式幂级数的线性求和算法。这个算法推导简单，并且它统一了很多关于多项式的求和的问题中 ad hoc 的推导，是一个值得一学的新技术。 算
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摘要：问题引入. 给定 \(n\), \(k\)，我们想计算 \[ S(n,k)= \sum_{i=0}^{n-1} i^k. \] 进一步地，我们已经知道 \(S(n,k)\) 是一个关于 \(n\) 的 \(k+1\) 次多项式，现在我们想求出它的系数。 推导. 对 \(i^k\) 的求和比较困难，但
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摘要：我们熟知一个度数为 \(D\) 的多项式有三种经典表示： 系数表示，也就是 \(P(x) = \sum_{i=0}^D\limits c_i x^i\)。 点值表示，也即给出 \(P\) 在 \(D+1\) 个不同的位置的取值 \((x_0, P(x_0)), \dots, (x_D, P(x_D)
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摘要：生成函数简介 一般生成函数 对于一个数列 \((f_i)_{i\ge 0}\) 其中 \(f_i\) 表示规模为 \(i\) 的特定组合对象的个数 定义 \((f_i)_i\) 的一般型生成函数为 \[ F(x) = \sum_{i=0}^{\infty} f_i x^i. \] 我们把所有满足 \
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摘要：CF1089I Interval-Free Permutations 求长度为 \(n\) 的、且不包含一个连续子段的排列数量。 用析合树的思路，将问题转化为计算根的儿子不足 \(n\) 个的析合树数量。 设长度为 \(n\) 的、且不包含一个连续子段的排列数量是 \(A_n\) 先讨论根是合点的情
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摘要：定义：\({N\choose K}=\frac{N!}{K!(N-K)!}\) 为从 N 个物品中取出 K 个的方案数。 常用公式 \(\sum_{i=0}^N \binom{N}{i} = 2^N\). \(\sum_{i=0}^{N} \binom{N}{i}(-1)^i = 0\). \(\s
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摘要：基于拉格朗日插值的多项式求和 拉格朗日插值. 假设 \(P\) 是一个度数为 \(D\) 的多项式。如果我们知道 \(P\) 在 \(D+1\) 个不同位置的取值 \((x_1,P(x_1)),\dots, (x_D,P(x_D))\)，那么我们可以唯一地把 \(P\) 写为 \[ P(x) = \
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