[NOI2002] 荒岛野人 扩展欧几里得算法

【问题描述】

克里特岛以野人群居而著称。岛上有排列成环行的M个山洞。这些山洞顺时针编号为1,2,…,M。岛上住着N个野人，一开始依次住在山洞 C1,C2,…,CN中，以后每年，第i个野人会沿顺时针向前走Pi个洞住下来。每个野人i有一个寿命值Li，即生存的年数。下面四幅图描述了一个有6个 山洞，住有三个野人的岛上前四年的情况。三个野人初始的洞穴编号依次为1，2，3；每年要走过的洞穴数依次为3，7，2；寿命值依次为4，3，1。

 

 

奇怪的是，虽然野人有很多，但没有任何两个野人在有生之年处在同一个山洞中，使得小岛一直保持和平与宁静，这让科学家们很是惊奇。他们想知道，至少有多少个山洞，才能维持岛上的和平呢？

【输入文件】

输入文件的第1行为一个整数N(1<=N<=15)，即野人的数目。第2行到第N+1每行为三个整数Ci, Pi, Li (1<=Ci,Pi<=100, 0<=Li<=106 )，表示每个野人所住的初始洞穴编号，每年走过的洞穴数及寿命值。

【输出文件】

输出文件仅包含一个数M，即最少可能的山洞数。输入数据保证有解，且M不大于10^6。

solution

(其实这个题根据 M不大于10^6 知道要枚举M)

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我一开始思路是：

设当前总共的洞穴数是m个

对于每两个野人，如果他们会相遇，那么会有

(C[i]+k*P[i])≡(C[j]+k*P[j]) (%m)

即 m*t1=C[i]+k*P[i]...①  m*t2=C[j]+k*P[j]...②

①+②得   m*(t1+t2)-(P[i]+P[j])*k=C[i]+C[j]

可是这样没法解方程，就放弃了

 

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看题解是：

对于野人i   (C[i]+k*P[i])%m=S1→C[i]+k*P[i]-k1*m=S1

对于野人j   (C[j]+k*P[j])%m=S2→C[j]+k*P[j]-k2*m=S2

相遇的条件是 S1==S2

所以两式相减  (P[i]-P[j])*k+x*m=C[j]-C[i]   (此时野人相遇S1==S2)

最后如果方程 无解 OR k>L[i]||k>L[j]  即为不相遇

 

#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstdlib>
#define ll long long
#define dd double
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
using namespace std;
inline int maxn(int a,int b){return a>b?a:b;}
int gcd(int x,int y){return y==0?x:gcd(y,x%y);}

int n,be;
int C[21],p[21],L[21];

void egcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(b==0)
    {
        x=1;
        y=0;
        return ;
    }
    egcd(b,a%b,x,y);
    int temp=x;
    x=y;
    y=temp-a/b*y;
}

int check(int now)
{
    int x,y,d,a,b,c;
    for(int i=1;i<=n;++i)
      for(int j=i+1;j<=n;++j)
      {
            a=p[i]-p[j];
            b=now;
            c=C[j]-C[i];
            d=gcd(a,b);
            
            if(c%d!=0)
              continue;
            a/=d;
            b/=d;
            c/=d;
            egcd(a,b,x,y);
            b=abs(b);
            x=((x*c)%b+b)%b;
            if(x==0)
              x+=b;
            if(x<=min(L[i],L[j]))
              return 0;
        }
    return 1;
}

int main(){
    
    //freopen("savage.in","r",stdin);
    //freopen("savage.out","w",stdout);
    
    //freopen("1.txt","r",stdin);
    
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
      scanf("%d%d%d",&C[i],&p[i],&L[i]);
        be=maxn(be,C[i]);
    }
    for(int i=be;i<=1000000;++i)
      if(check(i))
      {
            cout<<i;
            break;
        }
    //while(1);
    return 0;
}

 

 

 

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 最后再复习一下扩展欧几里得算法：

对于 ax+by=c

1.如果 c%gcd!=0，无解

2.求出gcd=gcd(a,b)   a/=gcd  b/=gcd  c/=gcd  先约分

3.egcd 解方程

4.x*c   y*c   是此方程一组解

5.如果要 求x，那么b=abs(b)，x=x0+b*t(b已经约分，不用再/gcd)

  求y也一样

6.

int a,b;

 

a>0,b<0

 

此时a%b，应该是b先=abs(b)，a再%b.....

 

int gcd(int x,int y)
{
    return y==0?x:gcd(y,x%y);
}

void egcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(b==0)
    {
        x=1;
        y=0
        return ;
    }
    int temp=x;
    x=y;
    y=temp-a/b*y;
}

int cal(int a,int b,int c)
{
    int x,y,d;
    d=gcd(a,b);
    if(c%d)
      return -1;
    a/=d;b/=d;c/=d;
    egcd(a,b,x,y);
    x=((c*x)%b+b)%b;
    if(x==0)x+=b;
    return x;
}