斐波那契数列

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1、什么是斐波那契数列？

斐波那契数列就是从第3项开始，每一项都等于前两项之和。

例子：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89 ......

2、记忆点

1）所有数据相加

$$S_n=a_{n+2}-a_2$$

2）奇、偶下标相加

$$\begin{gathered} \mathrm{奇}\mathrm{数}：a_1+a_3+a_5+a_7+\cdots +a_{2n-1}=S_{2n-2}+a_1=a_{2n}-a_2+a_1 \\ \mathrm{偶}\mathrm{数}：a_2+a_4+a_6+a_8+\cdots +a_{2n}=S_{2n-1}-a_1+a_2=a_{2n+1}-a_1 \end{gathered}$$

3）任意连续三项

$$a_{n+1}{a}_{n-1}-a_n^2=(-1{)}^n$$

4）3.1

$$a_n^2=a_{n+1}{a}_n-a_n{a}_{n-1}$$

5）余数列的周期性

​ 被2除的与数列周期为3: 1，1，0....

​ 被4除的与数列周期为6: 1，1，2，3，1，0....

​ 被3除的与数列周期为8: 1，1，2，0，2，2，1，0....

3、常用的性质

性质一

$$S_n=a_{n+2}-a_2$$

推导：

$$\{\begin{array}{ll}& a_{n+2}=a_{n+1}+a_n\\ & a_{n+1}=a_n+a_{n-1}\\ & a_{a_n}=a_{n-1}+a_{n-2}\\ & \cdots \\ & a_4=a_3+a_2\\ & a_3=a_2+a_1\end{array}$$

将上述的式子相加就会得到：

$$\begin{gathered} a_{n+2}=(a_n+a_{n-1}+a_{n-2}+\cdots +a_2+a_1)+a_2 \\ \downarrow \\ {a}_{n+2}=S_n+a_2 \\ \downarrow \\ {S}_n=a_{n+2}-a_2 \end{gathered}$$

性质二

奇数项之和：

$$\begin{gathered} a_1+a_3+a_5+a_7+\cdots +a_{2n-1}=S_{2n-2}+a_1=a_{2n}-a_2+a_1 \\ \mathrm{当}a1=a2=1\mathrm{时}\downarrow \\ {a}_1+a_3+a_5+a_7+\cdots +a_{2n-1}=S_{2n-2}+a_1=a_{2n} \end{gathered}$$

将除了第一项的数据进行拆分

$$\begin{gathered} a_1+[(a_1+a_2)+(a_3+a_4)+(a_5+a_6)+\cdots +(a_{2n-3}+a_{2n-2})]=a_1+S_{2n-2} \\ \downarrow \downarrow \downarrow S_n=a_{n+2}-a_2(\mathrm{性}\mathrm{质}\mathrm{一}\mathrm{的}\mathrm{结}\mathrm{论})\downarrow \downarrow \downarrow \\ {a}_1+S_{2n-2}=a_1+[a_{2n}-a_2] \end{gathered}$$

偶数项之和：

$$\begin{gathered} a_2+a_4+a_6+a_8+\cdots +a_{2n}=S_{2n-1}-a_1+a_2=a_{2n+1}-a_1 \\ \mathrm{当}a1=a2=1\mathrm{时}\downarrow \\ {a}_2+a_4+a_6+a_8+\cdots +a_{2n}=S_{2n-1}=a_{2n+1}-1 \end{gathered}$$

将除了第一项的数据进行拆分

$$\begin{gathered} a_2+[(a_2+a_3)+(a_4+a_5)+(a_6+a_7)+\cdots +(a_{2n-2}+a_{2n-1})]+a_1-a_1=a_2+S_{2n-1}-a_1 \\ \downarrow \downarrow \downarrow S_n=a_{n+2}-a_2(\mathrm{性}\mathrm{质}\mathrm{一}\mathrm{的}\mathrm{结}\mathrm{论})\downarrow \downarrow \downarrow \\ {a}_2+S_{2n-1}-a_1=a_{2n+1}-a_1 \end{gathered}$$

性质三

$$a_{n+1}{a}_{n-1}-a_n^2=(-1{)}^n$$

性质四

$$a_n^2=a_{n+1}{a}_n-a_n{a}_{n-1}$$

推导

$$\begin{gathered} a_{n+1}{a}_n-a_n{a}_{n-1} \\ =(a_n+a_{n-1})a_n-a_n{a}_{n-1} \\ =a_n^2+a_n{a}_{n-1}-a_n{a}_{n-1} \\ =a_n^2 \end{gathered}$$

性质五

​ 被2除的与数列周期为3: 1，1，0....

​ 被4除的与数列周期为6: 1，1，2，3，1，0....

​ 被3除的与数列周期为8: 1，1，2，0，2，2，1，0....