P=NP?

　

 

 

　“P=NP?” 通常被认为是计算机科学最重要的问题。有一个叫 Clay Math 的研究所，甚至悬赏 100 万美元给解决它的人。可是我今天要告诉你的是，这个问题其实是不存在的，它根本不需要解决。

 

 

　　我并不是第一个这样认为的人。在很早的时候就有个数学家毫不客气的指出，P=NP? 是个愚蠢的问题，并且为了嘲笑它，专门在愚人节写了一篇“论文”，称自己证明了 P=NP。我身边有一些非常聪明的人，他们基本也都不把这问题当回事。如果我对他们讲这些东西，恐怕是 TOO OLD。可是我发现国内的计算机专业学生，提到这个问题总是奉为神圣，一点玩笑也开不得，所以我打算在这里科普一下。

 

 

　　这是一个不大好解释的问题。首先，你要搞清楚什么是“P=NP?” 为此，你必须先了解一下什么是“算法复杂度”。为此，你又必须先了解什么是“算法”。

 

 

　　你可以简单的把“算法”想象成一台机器，就跟绞肉机似的。你给它一些“输入”，它就给你一些“输出”。比如，绞肉机的输入是肉末，输出是肉渣。牛的输入是草，输出是奶（或者牛米田共）。“加法器”的输入是两个整数，输出是这两个整数的和。 “算法理论”所讨论的问题，就是如何设计这些机器，让它们更加有效的工作。就像是说如何培育出优质的奶牛，吃进相同数量的草，更快的产出更多的奶。

 

 

　　通常所谓的“计算问题”，都需要算法经过一定时间的工作（也叫“计算”），才能得到结果。计算所需要的时间，往往跟输入的大小有关系。你的牛吃的草越多，它就需要越长时间，才能把草都变成奶。这种草和奶的转换速度，通常被叫做“算法复杂度”。

 

 

　　算法复杂度通常被表示为一个函数 f(n)，其中 n 是输入的大小。这个函数的值，通常是某种资源的需求量，比如时间或者空间。比如，如果你的算法时间复杂度为 n²，那么当输入10个东西的时候，它需要 100 个单元的时间才能完成计算。当输入 100 个东西的时候，它需要 10000 个单元的时间才能完成。当输入 1000 个数据的时候，它需要 1000000 个单元的时间。简单吧。

 

 

　　所谓的“P时间”，就是“Polynomial time”，多项式时间。简而言之，就是说这个复杂度函数 f(n) 是一个多项式。多项式你该知道是什么吧？不知道的话就翻一下中学数学课本。

 

 

　　“P=NP?”中的“P”，就是指所有这些复杂度为多项式的算法的“集合”，也就是“所有”的复杂度为多项式的算法。 为了简要的描述以下的内容，我定义一些术语：

 

　　　　“f(n) 时间算法” = “能够在 f(n) 时间之内，解决某个问题的算法”

 

　　当 f(n) 是个多项式（比如 n²）的时候，这就是“多项式时间算法”（P 时间算法）。当 f(n) 是个指数函数（比如 2ⁿ）的时候，这就是“指数时间算法”（EXPTIME 算法）。很多人认为 NP 问题就是需要指数时间的问题，而 NP 跟 EXPTIME，其实是风马牛不相及的。很显然，P 不等于 EXPTIME，但是 P 是否等于 NP，却没有一个结论。

 

　　现在我来解释一下什么是 NP。 通常的计算机都是确定性（deterministic）的，它们在同一个时刻只能有一种行为。如果用程序来表示，那么它们遇到一个条件判断（分支）的时候，只能一次探索其中一条路径。比如：

 

　　if (x == 0) {

 　　　　one();

　　} else {

 　　　　two();

　　}

 

　　在这里，根据 x 的值是否为零，one() 和 two() 这两个操作，只有一个会发生。

 

 

　　然而，有人幻想出来一种机器，叫做“非确定性计算机”（nondeterministic computer），它可以同时运行这程序的两个分支，one() 和 two()。这有什么用处呢？它的用处就在于，当你不知道 x 的大小的时候，根据 one() 和 two() 是否“运行成功”，你可以推断出 x 是否为零。

 

 

　　这种非确定性的计算机，在“计算理论”里面叫做“非确定性图灵机”。与之相对的就是“确定性图灵机”，也就是通常所谓的“计算机”。其实，“图灵机”这名字在这里完全无关紧要。你只需要知道，非确定性的计算机可以同时探索多种可能性。

 

 

　　这不是普通的“并行计算”，因为每当遇到一个分支点，非确定性计算机就会产生 新的计算单元，用以同时探索这些路径。这机器就像有“分身术”一样。当这种分支点存在于循环（或者递归）里面的时候，它就会反复的产生新的计算单元，新的 计算单元又产生更多的计算单元，就跟细胞分裂一样。 一般的计算机都没有这种“超能力”，它们只有固定数目的计算单元。所以他们只能先探索一条路径，失败之后，再回过头来探索另外一条。所以它们似乎要多花一些时间才能得到结果。

 

 

　　到这里，基本的概念都有了定义，于是我们可以圆满的给出 P 和 NP 的定义。

 

　　P 和 NP 是这样两个“问题的集合”：

 　　　　P  =  “确定性计算机”能够在“多项式时间”解决的所有问题

 　　　　NP = “非确定性计算机”能够在“多项式时间”解决的所有问题

 

　　（注意它们的区别，仅在于“确定性”或者是“非确定性”。）

 

 

 

　　定义完毕。现在回到对“P=NP?”问题的讨论。

 

　　“P=NP?”问题的目标，就是想要知道 P 和 NP 这两个集合是否相等。为了证明两个集合（A 和 B）相等，一般都要证明两个方向：

 

　　　　1. A 包含 B

　　　　2. B 包含 A

 

　　你也许已经看出来了，NP 肯定包含了 P。因为任何一个非确定性机器，都能被当成一个确定性的机器来用。你只要不使用它的“超能力”，在每个分支点只探索一条路径就行。所以“P=NP?”问题的关键，就在于 P 是否也包含了 NP。也就是说，如果只使用确定性计算机，能否在多项式时间之内，解决所有非确定性计算机能在多项式时间内解决的问题。

 

 

　　我们来细看一下什么是多项式时间（Polynomial time）。我们都知道，n² 是多项式，n^1000000 也是多项式。多项式与多项式之间，却有天壤之别。把解决问题所需要的时间，用“多项式”这么笼统的概念来描述，其实是非常不准确的做法。在实际的大规模应用中，n² 的算法都嫌慢。能找到“多项式时间”的算法，其实根本不能说明问题。

 

 

　　对此理论家们喜欢说，就算再大的多项式(比如 n ^1000000)，也不能和再小的指数函数（比如 1.0001 ⁿ）相比，因为总是“存在”一个 M，当 n > M 的时候，1.0001 ⁿ 会超过 n ^1000000。可是问题的关键，却不在于 M 的“存在”，而在于 它的“大小”。如果你的输入必须达到天文数字才能让指数函数超过多项式的话，那么还不如就用指数复杂度的算法。所以，“P=NP?”这问题的错误就在于， 它并没有针对我们的实际需要，而是首先假设了我们有“无穷大”的输入，有“无穷多”的时间和耐心，可以让多项式时间的算法“最终”得到优势。“无穷”和 “最终”，就是理论家们的杀手锏。

 

 

　　为了显示这个问题，我们可以画一个坐标曲线，来比较一下 n ^1000000 与 2 ⁿ，并且解出它们相等时的 n。我不用 1.0001 ⁿ 来比，免得有人说我不公平。我喜欢偷懒，经常用 Mathematica 来解决这些算式。下面就是我用它得出的结果和曲线图：

 

 

 

 

 

 

 

　　你看到了，当 1 < n < 24549200 的时候，我们都有 2 ⁿ < n ^1000000 （n ^1000000 那根曲线，一超过1就冲上天去了）。 所以只要输入没有达到2千万这个量级，2 ⁿ 的算法都比 n ^1000000 的算法快。

 

 

　　n^1000000 也许不说明问题，但是“多项式”的范围实在太大了。n¹⁰¹⁰⁰ ，n^1010100，…… 都是多项式。实际上，只要 c 是个常数，任何常数，n^c 就是个多项式。

 

 

　　你能想象 n 需要多大，2ⁿ 才能超过 n¹⁰¹⁰⁰ 吗？当 n=2 的时候，n¹⁰¹⁰⁰ 就是 2¹⁰¹⁰⁰。你也许已经意识到，这个数相当于 2ⁿ 复杂度的算法，接受了 10¹⁰⁰ 个输入。如果你知道 10¹⁰⁰（1的后面跟100个0）已经大于宇宙中基本粒子的数目，你也许就会意识到，这是在计算宇宙里所有的粒子的“幂集”（power set），也就是在枚举宇宙里所有粒子的所有组合。通俗一点说，就是在枚举宇宙里所有可能出现的物体！当任何超级电脑完成这个任务的时候，宇宙恐怕都已经不存在了。况且这个计算是根本无法完成的，因为即使每个粒子可以提供一次计数所需要的能量，你会在还没有数到 10¹⁰⁰ 的时候就用光宇宙里所有的能量。最后，因为这两个 n 是同步的，所以当 2ⁿ 的输入是 10¹⁰⁰ 的时候，n¹⁰¹⁰⁰ 等于 (10¹⁰⁰)¹⁰¹⁰⁰。所以即使枚举了宇宙里所有可能出现的物体，2ⁿ 仍然远远落后于 n¹⁰¹⁰⁰！

 

 

　　你也许发现了，其实上面的论述根本没必要用 n¹⁰¹⁰⁰ 这么大的多项式，只要用一个很大的常数（比如 10¹⁰⁰）就够了，因为常数也算是多项式。使用多项式的原因，只是想演示一下多项式可以有多大。

 

 

　　当你抓住这个要害的时候，理论家们往往又说，你给的这个例子太离谱了，解决了“P=NP?”，不管是肯定的还是否定的结论都会带来好处：

 

　　　　1. 如果 P  等于 NP，那么它能够帮助我们找到“快速”的多项式算法，

　　　　2. 如果 P 不等于 NP，那么我们知道多项式算法“不存在”，从而避免了不必要的工作。

 

　　而这两个结论，其实都有致命的逻辑错误。

 

 

　　让我们先来看看第一点，“如果 P 等于 NP， 能够帮助我们找到快速的多项式算法”。 这其实是一个偷换概念的诡辩，“P=NP?”的“目标”，与理论家们所声称的“意义”，其实在逻辑上是不一致的。 你需要特别精确理解的一点是，这个问题的定义从头到尾就没有提到“快速”两个字。它只关心“能否”够找到多项式时间算法，而不是能否找到“快速的”多项式时间算法。少了“快速的”三个字，就是说可以是“任意多项式”，也就是说完全可以是像  n¹⁰¹⁰⁰ 这样的。所以，“P=NP?”的目标（证明“能否找到多项式时间算法来解决所有的 NP 问题”），其实对于“找到快速的多项式算法”，一点用都没有。

 

 

　　这是“存在性问题”与“数值性问题”的区别。就好像是一个人说：“我是有钱人。” 等到大家对他刮目相看的时候，他又说：“我有一块钱！”这是很基本的逻辑诡辩，却有很多人被它迷糊了。

 

 

　　再来看看第二点，“如果 P 不等于 NP，那么我们知道 多项式算法不存在，从而避免不必要的工作”。如果 P 不等于 NP，我们对这个问题的定义做一个“逻辑逆”，得到：“并不是对所有的 NP 问题，我们都能找到多项式时间的算法。” 也就是说：“有些 NP 问题找不到多项式时间的算法。” 注意这里说的是“有些”（some），而不是“所有”（all）。换句话说，对于有些 NP 问题，就算 P 不等于 NP，我们仍然“有可能”找到多项式的算法。 有可能就有希望，有希望就有人会耗费时间去寻找它。 既然没能完全消灭为 NP 问题找到多项式算法的“希望”，这结论又如何能“避免不必要的工作”？误解了这一点的人，就是因为没有搞清楚，“所有”的逻辑逆是“有些”。他们错误地认为“P 不等于 NP”的含义是“所有的 NP 问题都不能找到多项式时间算法。” 如果真是这样的话，那这结论可能还有一点用处。

 

 

　　这第二点里面，除了关键的逻辑错误，其实还有跟第一点同样的问题。那就是它首 先就假设了在任何情况下，多项式时间算法都比其他复杂度的算法好。它下意识里觉得，所有人都“希望”得到多项式时间算法。所以它才会觉得，如果能消灭这种 “希望”，就会省掉这些人不必要的烦恼。但是其实正确的做法，并不是一味去寻找多项式算法，而是找到多个算法之后，画出像我所示的曲线图，根据不同的输入 大小，资源限制，计算目标，实现难度，经过分析比较，因地制宜的选择最好的算法。

 

 

　　我早期对算法的研究告诉我一个经验，如果花了很多功夫，仍然找不到一个简单而 快速的多项式算法，那么快速的多项式算法往往不存在。当然，你可以花更多功夫，经过长篇累牍的证明各种上限下限，找到很复杂的多项式算法，但是这些算法的 实际效率，往往还不如很简单的指数时间算法。另外，这里讲的算法复杂度都是指最坏情况下的复杂度。如果你的算法能够随输入的改变而调整自己，或者加入一些 随机性或者 heuristics，往往可以达到意想不到的效果。

 

 

　　所以我们看到了，不管 P 是否等于 NP，得到的结论都不能产生理论家们所期望的效果。 所以，“P=NP?”根本就不需要答案，因为它是一个不存在的问题。

 

 

 

 

来源：http://my.oschina.net/MrWizard/blog/116875