诡异的数学,数字问题 - leetcode

134. Gas Station

那么这题包含两个问题：

1. 能否在环上绕一圈？

2. 如果能，这个起点在哪里？

第一个问题，很简单，我对diff数组做个加和就好了，leftGas = ∑diff[i]， 如果最后leftGas是正值，那么肯定存在这么一个起始点。如果是负值，那说明，油的损耗大于油的供给，不可能有解。得到第一个问题的答案只需要O(n)。

对于第二个问题，起点在哪里？

假设，我们从环上取一个区间[i, j], j>i， 然后对于这个区间的diff加和，定义

sum[i,j] = ∑diff[k] where i<=k<j

如果sum[i,j]小于0，那么这个起点肯定不会在[i,j]这个区间里，跟第一个问题的原理一样。举个例子，假设i是[0,n]的解，那么我们知道 任意sum[k,i-1] (0<=k<i-1) 肯定是小于0的，否则解就应该是k。同理，sum[i,n]一定是大于0的，否则，解就不应该是i，而是i和n之间的某个点。所以第二题的答案，其实就是在0到n之间，找到第一个连续子序列（这个子序列的结尾必然是n）大于0的。

至此，两个问题都可以在一个循环中解决。

166. Fraction to Recurring Decimal

There are some remaining problems to solve to achieve a bug-free solution.

1. Pay attention to the sign of the result;
2. Handle cases that may cause overflow like numerator = -2147483648, denominator = -1 appropriately by using long long;
3. Handle all the cases of (1) no fractional part; (2) fractional part does not recur; and (3) fractional part recurs respectively.

整数，小数，循环小数。用map<long, long> map[remain] = result.size()来记录recurring的开始部分 加左括号。

233. Number of Digit One

这道题让我们比给定数小的所有数中1出现的个数，之前有道类似的题Number of 1 Bits 位1的个数，那道题是求转为二进数后1的个数，我开始以为这道题也是要用那题的方法，其实不是的，这题实际上相当于一道找规律的题。那么为了找出规律，我们就先来列举下所有含1的数字，并每10个统计下个数，如下所示：

1的个数          含1的数字                                                                        数字范围

1                   1                                                                                     [1, 9]

11                 10  11  12  13  14  15  16  17  18  19                              [10, 19]

1                   21                                                                                   [20, 29]

1                   31                                                                                   [30, 39]

1                   41                                                                                   [40, 49]

1                   51                                                                                   [50, 59]

1                   61                                                                                   [60, 69]

1                   71                                                                                   [70, 79]

1                   81                                                                                   [80, 89]

1                   91                                                                                   [90, 99]

11                 100  101  102  103  104  105  106  107  108  109          [100, 109]

21                 110  111  112  113  114  115  116  117  118  119             [110, 119]

11                 120  121  122  123  124  125  126  127  128  129          [120, 129]

...                  ...                                                                                  ...

 

通过上面的列举我们可以发现，100以内的数字，除了10-19之间有11个‘1’之外，其余都只有1个。如果我们不考虑[10, 19]区间上那多出来的10个‘1’的话，那么我们在对任意一个两位数，十位数上的数字(加1)就代表1出现的个数，这时候我们再把多出的10个加上即可。比如56就有(5+1)+10=16个。如何知道是否要加上多出的10个呢，我们就要看十位上的数字是否大于等于2，是的话就要加上多余的10个'1'。那么我们就可以用(x+8)/10来判断一个数是否大于等于2。对于三位数也是一样，除了[110, 119]之间多出的10个数之外，其余的每10个数的区间都只有11个‘1’，那么还是可以用相同的方法来判断并累加1的个数，参见代码如下：

 

解法一：

class Solution {
public:
    int countDigitOne(int n) {
        int res = 0, a = 1, b = 1;
        while (n > 0) {
            res += (n + 8) / 10 * a + (n % 10 == 1) * b;
            b += n % 10 * a;
            a *= 10;
            n /= 10;
        }
        return res;
    }
};

 

73. Integer to English Words

题目中给足了提示，首先告诉我们要3个一组的进行处理，而且题目中限定了输入数字范围为0到2³¹ - 1之间，最高只能到billion位，3个一组也只需处理四组即可，那么我们需要些一个处理三个一组数字的函数，我们需要把1到19的英文单词都列出来，放到一个数组里，还要把20,30，... 到90的英文单词列出来放到另一个数组里，然后我们需要用写技巧，比如一个三位数n，百位数表示为n/100，后两位数一起表示为n%100，十位数表示为n%100/10，个位数表示为n%10，然后我们看后两位数是否小于20，小于的话直接从数组中取出单词，如果大于等于20的话，则分别将十位和个位数字的单词从两个数组中取出来。然后再来处理百位上的数字，还要记得加上Hundred。主函数中调用四次这个帮助函数，然后中间要插入"Thousand", "Million", "Billion"到对应的位置，最后check一下末尾是否有空格，把空格都删掉，返回的时候检查下输入是否为0，是的话要返回'Zero'。参见代码如下：

 

class Solution {
public:
    string numberToWords(int num) {
        string res = convertHundred(num % 1000);
        vector<string> v = {"Thousand", "Million", "Billion"};
        for (int i = 0; i < 3; ++i) {
            num /= 1000;
            res = num % 1000 ? convertHundred(num % 1000) + " " + v[i] + " " + res : res;
        }
        while (res.back() == ' ') res.pop_back();
        return res.empty() ? "Zero" : res;
    }
    string convertHundred(int num) {
        vector<string> v1 = {"", "One", "Two", "Three", "Four", "Five", "Six", "Seven", "Eight", "Nine", "Ten", "Eleven", "Twelve", "Thirteen", "Fourteen", "Fifteen", "Sixteen", "Seventeen", "Eighteen", "Nineteen"};
        vector<string> v2 = {"", "", "Twenty", "Thirty", "Forty", "Fifty", "Sixty", "Seventy", "Eighty", "Ninety"};
        string res;
        int a = num / 100, b = num % 100, c = num % 10;
        res = b < 20 ? v1[b] : v2[b / 10] + (c ? " " + v1[c] : "");
        if (a > 0) res = v1[a] + " Hundred" + (b ? " " + res : "");
        return res;
    }
};

279. Perfect Squares

//逻辑非“！”：逻辑取反, false变true,true变false，在C中，只要不是0就是真
//根据四平方和定理，任意一个正整数均可表示为4个整数的平方和，其实是可以表示为4个以内的平方数之和，那么就是说返回结果只有1,2,3或4其中的一个，首先我们将数字化简一下，由于一个数如果含有因子4，那么我们可以把4都去掉，并不影响结果，比如2和8,3和12等等，返回的结果都相同，读者可自行举更多的栗子。还有一个可以化简的地方就是，如果一个数除以8余7的话，那么肯定是由4个完全平方数组成，这里就不证明了，因为我也不会证明，读者可自行举例验证。那么做完两步后，一个很大的数有可能就会变得很小了，大大减少了运算时间，下面我们就来尝试的将其拆为两个平方数之和，如果拆成功了那么就会返回1或2，因为其中一个平方数可能为0. (注：由于输入的n是正整数，所以不存在两个平方数均为0的情况)。注意下面的!!a + !!b这个表达式，可能很多人不太理解这个的意思，其实很简单，感叹号!表示逻辑取反，那么一个正整数逻辑取反为0，再取反为1，所以用两个感叹号!!的作用就是看a和b是否为正整数，都为正整数的话返回2，只有一个是正整数的话返回1
int numSquares(int n) {
while(n % 4 == 0) n /= 4;
if(n % 8 == 7) return 4;
for(int a = 0; a * a <= n; ++a){
int b = sqrt(n - a * a);
if(a * a + b * b == n){
return !!a + !!b;
}
}
return 3;
}

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