LeetCode/不同路径

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角
机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角
问总共有多少条不同的路径？

思路
1.组合数，总共得移动m+n-2次，其中n-1次为向右，m-1为向下，注意即时运算，别求和防止溢出

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class Solution {
public:
    int uniquePaths(int m, int n) {

        long long ans = 1;
        for (int x = n, y = 1; y < m; ++x, ++y) {
            ans = ans * x / y;//运算m-1次，也可以优化一下，让循环次数为小的那一端
        }
        return ans;
    }
};

2.动态规划，容易知道(m,n)大小的方案数会等于(m-1,n)+(m,n-1)
状态转移方程：dp(m,n)=dp(m-1,n)+dp(m,n-1)
边界条件：dp(m,1)=1、dp(1,n)=1

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class Solution {
public:
    int uniquePaths(int m, int n) {
        if(m==1||n==1) return 1;
        return uniquePaths(m-1,n)+uniquePaths(m,n-1);//递归重复计算容易超时
    }
};

3.动态规划优化，用二维数组先从前往后计算出所有大小的网格方案，空间换时间

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class Solution {
public:
    int uniquePaths(int m, int n) {
        vector<vector<int>> f(m, vector<int>(n));//二维数组存储
        for (int i = 0; i < m; ++i) {
            f[i][0] = 1;//先存入边界，这里从数组0位置开始，实质上等价于位置1
        }
        for (int j = 0; j < n; ++j) {
            f[0][j] = 1;//存入边界
        }
        for (int i = 1; i < m; ++i) {
            for (int j = 1; j < n; ++j) {
                f[i][j] = f[i - 1][j] + f[i][j - 1];//正向递推算出所有值，避免重复计算
            }
        }
        return f[m - 1][n - 1];
    }
};