推荐系统之矩阵分解及C++实现

1.引言

矩阵分解(Matrix Factorization, MF)是传统推荐系统最为经典的算法，思想来源于数学中的奇异值分解(SVD), 但是与SVD 还是有些不同，形式就可以看出SVD将原始的评分矩阵分解为3个矩阵，而推荐本文要介绍的MF是直接将一个矩阵分解为两个矩阵，一个包含Users 的因子向量，另一个包含着Items 的因子向量。

2.原理简介

假如电影分为三类：动画片，武打片，纪录片，而某一部电影对应这三类的隶属度分别为 0, 0.2, 0.7,可以看出这是一部纪录片里面有些武打成分，现在给定某个用户对着三类电影的喜欢程度用0 到1 之间的值表示分别为 0.1,0.6,0.2, 可以看出该用户最喜欢武打片，而不怎么喜欢其他两种，于是可以预测用户对刚才的电影打分（喜欢程度）为：0*0.1+0.2*0.6+0.7*0.2 = 0.26

矩阵分解的动机来源于此，因为利用用户的历史评分矩阵（参考我的上一篇推荐系统之协同过滤的原理及C++实现），如果能够得到反映每一用户的对每个Item喜好的因子向量，同时得到每个Item 属于每一类的隶属度向量，利用上面的方法就很容易得出每个用户对每个Item的预测评分，利用这个评分的高低就可以进行推荐高分的Items给相应的用户了.

例如这个10*10的历史评分矩阵A, 可以分解为一个10 * 5 的矩阵 B 乘以一个5 * 10 的矩阵 C ,这样可以把 B 看做是用户偏好矩阵，里面包含着用户对每一类Items 的偏好程度的向量，B 的转置看作是包含着衡量每一个Item 属于5类的隶属度的向量，当然这个 5 可以是自己设定的任意值，但是原则上要求要比原来的矩阵A中的列数或者行数小 ，起到一个降维的作用。B 和 C的初始值可以随机初始化，然后B和C相乘得到评分，与历史真实评分对比，通过梯度下降算法不断调整B和C中的值，使得B和C相乘后得到的矩阵与真实的历史评分矩阵之间的差别越小越好，最终得到较好的B 和C 就可以用来预测用户对任意Item的评分了，更加详细的解释参考：Matrix_factorization_techniques_for_recommender_systems.pdf

3.实现

本次实现的是一个带偏置的矩阵分解，数据集是movielens.rar，已经处理成了矩阵形式

读取和保存txt数据的头文件

#ifndef READANDWRITEDATA_H
#define READANDWRITEDATA_H
#include <iostream>
#include <fstream>
#include <vector>
#include <string>

using namespace std;

template <typename T>
vector<vector<T> > txtRead(string FilePath,int row,int col)
{
    ifstream input(FilePath);
    if (!input.is_open())
    {
        cerr << "File is not existing, check the path: \n" <<  FilePath << endl;
        exit(1);
    }
    vector<vector<T> > data(row, vector<T>(col,0)); 
    for (int i = 0; i < row; ++i)
    {
        for (int j = 0; j < col; ++j)
        {
            input >> data[i][j];
        }
    }
    return data;
}

template<typename T>
void txtWrite(vector<vector<T> > Matrix, string dest)
{
    ofstream output(dest);
    vector<vector<T> >::size_type row = Matrix.size();
    vector<T>::size_type col = Matrix[0].size();
    for (vector<vector<T> >::size_type i = 0; i < row; ++i)
    {
        for (vector<T>::size_type j = 0; j < col; ++j)
        {
            output << Matrix[i][j];
        }
        output << endl;
    }
}
#endif

 

评价函数，这里还是采用RMSE来评价

#ifndef EVALUATE_H
#define EVALUATE_H
#include <cmath>
#include <vector>
using namespace std;
double ComputeRMSE(vector<vector<double> > predict, vector<vector<double> > test)
{
    int Counter = 0;
    double sum = 0;
    for (vector<vector<double> >::size_type i = 0; i < test.size(); ++i)
    {
        for (vector<double>::size_type j = 0; j < test[0].size(); ++j)
        {
            if (predict[i][j] && test[i][j])
            {
                ++Counter;
                sum += pow((test[i][j] - predict[i][j]), 2);
            }
        }
    }
    return sqrt(sum / Counter);
}

#endif

 

最后是主程序

#include "Evaluate.h"
#include "ReadAndWriteData.h"

#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <iostream>

using namespace std;


double InnerProduct(vector<double> A, vector<double> B) //计算两个向量的内积
{
    double res = 0;
    for(vector<double>::size_type i = 0; i < A.size(); ++i)
    {
        res += A[i] * B[i];
    }
    return res;
}

template<typename T> //对矩阵（二维数组）进行转置操作
vector<vector<T> > Transpose(vector<vector<T> > Matrix)
{
    unsigned row = Matrix.size();
    unsigned col = Matrix[0].size();
    vector<vector<T> > Trans(col,vector<T>(row,0));
    for (unsigned i = 0; i < col; ++i)
    {
        for (unsigned j = 0; j < row; ++j)
        {
            Trans[i][j] = Matrix[j][i];
        }
    }
    return Trans;
}

vector<vector<double> > BiasedMF(vector<vector<double> >  train, double lr, double penalty,
    int maxItr)
{
    unsigned row = train.size();
    unsigned col = train[0].size();
    //计算全局平均分
    double avg = 0;
    int Counter = 0;
    for (unsigned i = 0; i < row; ++i)
    {
        for(unsigned j = 0; j < col; ++j)
        {
            if (train[i][j])
            {
                avg += train[i][j];
                ++Counter;
            }
        }
    }
    avg /= Counter;
    //初始化Items偏置
    vector<double> ItemsBias(col,0);
    vector<vector<double> > Transtrain = Transpose(train);
    for (unsigned i = 0; i < col; ++i)
    {
        int Counter = 0;
        double sum  = 0;
        for (unsigned j = 0; j < row; ++j)
        {
            if (Transtrain[i][j])
            {
                sum +=  Transtrain[i][j] - avg;
                ++Counter;
            }
                
        }
        ItemsBias[i] = sum / (25 + Counter);
    }

    //初始化Users偏置
    vector<double> UsersBias(row, 0);
    for (unsigned i = 0; i < row; ++i)
    {
        int Counter = 0;
        double sum  = 0;
        for (unsigned j = 0; j < col; ++j)
        {
            if (train[i][j])
            {
                sum +=  train[i][j] - avg - ItemsBias[j];
                ++Counter;
            }
        }
        UsersBias[i] = sum / (10 + Counter);
    }

    //初始化Users和Items对应的矩阵
    unsigned k = 10;
    vector<vector<double> > predict(row,vector<double>(col, 0));
    vector<vector<double> > Users(row, vector<double>(k, 0));
    vector<vector<double> > Items(col, vector<double>(k, 0));


    //梯度下降迭代
    double rmse = 100;
    int it = 0;
    while(it < maxItr)
    {
        for (unsigned i = 0; i < row; ++i)
        {
            for (unsigned j = 0; j < col; ++j)
            {
                predict[i][j] = InnerProduct(Users[i],Items[j]) + UsersBias[i]
                            + ItemsBias[j];
            }
        }
        double new_rmse = ComputeRMSE(predict, train);
        if (new_rmse < rmse)
            rmse = new_rmse;
        cout << "第 "<< it << "次迭代:" << endl;
        cout << "rmse is: " << rmse << endl;
        for (unsigned i = 0; i < row; ++i)
        {
            for (unsigned j = 0; j < col; ++j)
            {
                if (train[i][j])
                {
                    double err = train[i][j] - predict[i][j];
                    //更新User i 和Item j 的因子向量
                    for (unsigned t = 0; t < k; ++t)
                    {
                        double tmp = Users[i][t];
                        Users[i][t] += lr *(err * Items[j][t] - penalty * Users[i][t]);
                        Items[j][t] += lr * (err * tmp - penalty * Items[j][t]);
                    }
                    //更新User i和Item j的偏差
                    double tmp =  UsersBias[i] + ItemsBias[j] - avg;
                    UsersBias[i] += lr * (err - penalty * tmp);
                    ItemsBias[j] += lr * (err - penalty * tmp);    
                }
            }
        }
        ++it;
    }
    return predict;
}

int main()
{
  
    string FilePath1("E:\\Matlab code\\recommendation system\\data\\movielens\\train.txt");
    string FilePath2("E:\\Matlab code\\recommendation system\\data\\movielens\\test.txt");
    
    int row = 943;
    int col = 1682;
    vector<vector<double> > train = txtRead<double>(FilePath1, row, col);
    vector<vector<double> > predict = BiasedMF(train, 0.001, 0.003,100);
    txtWrite(predict, "predict.txt");
    vector<vector<double> > test = txtRead<double>(FilePath2, 462, 1591);
    double rmse = ComputeRMSE(predict,test);
    cout << "ProbeRMSE is " << rmse <<endl;
    return 0;
}

 

4.运行

下面是运行过程中的截图，可以看出运行过程中RMSE逐渐减小，表示与真实的历史评分矩阵差别在减小，由于时间关系没有运行完，根据以前在Matlab上的运行结果，最终的RMSE应该可以达到0.92左右，当然这只是在训练集上的RMSE，最终效果要测出在测试集上的RMSE, 要比上一篇讲到的基于用户的协同过滤好一些，关于用户和Items因子向量的初始化会对结果有一定影响，本文中只是全部初始化为0其实不太好，有兴趣的读者可以自己尝试其他分布函数来初始化，但是总体上不会有什么太大的影响，有什么问题可以联系我。